Câu này dùng bất: \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\)

Áp dụng bài toán được:

\(A=\dfrac{1}{\sqrt{1.1999}}+\dfrac{1}{\sqrt{2.1998}}+...\dfrac{1}{\sqrt{1999.1}}\)

\(>\dfrac{1}{\dfrac{1+1999}{2}}+\dfrac{1}{\dfrac{2+1998}{2}}+...+\dfrac{1}{\dfrac{1999+1}{2}}\)

\(=\dfrac{1}{1000}+\dfrac{1}{1000}+...+\dfrac{1}{1000}\)

Làm nốt

Ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2\le3\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{3}\le x+y+z\le\sqrt{3}\)

Ta lại có:

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)}{2}\left(3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\right)\)

Đặt \(x+y+z=t\)thì ta có hàm

\(f\left(t\right)=\dfrac{t\left(3-t^2\right)}{2}\)với \(-\sqrt{3}\le t\le\sqrt{3}\)

Ta chứng minh:

\(\dfrac{t\left(3-t^2\right)}{2}\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left(t+2\right)\ge0\) (đúng)

Vậy max là 1 tại x + y + z = 1

Điều kiện: \(2020x-2020\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\ge1\)

Vậy là có thể bỏ hết dấu trị tuyệt đối được rồi. Làm tiếp thôi