• Gọi I là giao điểm của EG và HF.
• Theo định lí tiếp tuyến, ta có: $\angle{OBE} = \angle{OBF} = 90^\circ$ và $\angle{ODF} = \angle{ODG} = 90^\circ$.
• Vì $BE$ và $DF$ là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên $OE$ và $OF$ là phân giác của $\angle{BOD}$.
• Tương tự, $OG$ và $OH$ là phân giác của $\angle{BOD}$.
• Khi đó, ta có: $\angle{EOI} = \angle{FOI} = \angle{GOI} = \angle{HOI} = 90^\circ$.
• Do đó, $OEIF$ và $OFIG$ là các hình chữ nhật.
• Vì $OE = OF$ và $OG = OH$, nên $OEIF$ và $OFIG$ là các hình vuông.
• Từ đó, ta có: $BE = EF$ và $DG = GH$.
• Vì $ABCD$ là hình thoi, nên $AB = AD$ và $BC = CD$.
• Khi đó, ta có: $AB = AD = BE + EF = BE + DF$ và $BC = CD = DG + GH = EG + HF$.
• Từ đó, ta suy ra: $BE + DF = EG + HF$.
• Do đó, $BE.DF = EG.HF$.
• Từ định lí tiếp tuyến, ta có: $BE.DF = OB^2$ và $EG.HF = OG^2$.
• Vì $OB = OG$ (bán kính đường tròn (O)), nên ta có: $BE.DF = OB.OD$.

Vậy, ta đã chứng minh được a) BE.DF = OB.OD.

b) Ta có:

• Gọi I là giao điểm của EG và HF.
• Theo chứng minh ở câu a), ta có: $OEIF$ và $OFIG$ là các hình vuông.
• Khi đó, ta có: $\angle{EOI} = \angle{FOI} = \angle{GOI} = \angle{HOI} = 90^\circ$.
• Do đó, ta có: $\angle{EOI} + \angle{FOI} + \angle{GOI} + \angle{HOI} = 360^\circ$.
• Từ đó, ta suy ra: $\angle{EOI} + \angle{FOI} + \angle{GOI} + \angle{HOI} = 360^\circ$.
• Vì $EG \parallel HF$, nên ta có: $\angle{EOI} + \angle{FOI} = 180^\circ$.
• Từ đó, ta suy ra: $\angle{GOI} + \angle{HOI} = 180^\circ$.
• Do đó, ta có: $\angle{GOI} = \angle{HOI}$.
• Vậy, ta đã chứng minh được b) EG // HF.