sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} +\)sđ\(_{\text{nh}ỏ} = 36 0^{\circ}\),

sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} = 2\)sđ\(_{\text{nh}ỏ}\) nên:

sđ\(_{\text{nh}ỏ} = 12 0^{\circ}\).

Suy ra \(\hat{A O B} = 12 0^{\circ}\).

Vẽ \(O H ⊥ A B\), ta có \(\hat{A O H} = \hat{H O B} = 6 0^{\circ}\) và \(A H = H B = \frac{1}{2} A B\).

Tam giác \(A O H\) có \(\hat{A H O} = 9 0^{\circ}\), \(\hat{A O H} = 6 0^{\circ}\) nên

\(O H = \frac{1}{2} A O = \frac{1}{2} R\)

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

\(A H^{2} = A O^{2} - O H^{2} = \frac{3 R^{2}}{4}\)

Suy ra \(A H = \frac{R \sqrt{3}}{2}\).

Vậy \(A B = 2 A H = R \sqrt{3}\).

a) Ta có sđ\(_{\text{nh}ỏ} +\)sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} = 36 0^{\circ}\),

mà sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} = 3\)sđ\(_{\text{nh}ỏ}\).

Suy ra sđ\(_{\text{nh}ỏ} = 9 0^{\circ}\);

sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} = 27 0^{\circ}\).

b) Ta có \(\hat{A O B} =\) sđ\(_{\text{nh}ỏ} = 9 0^{\circ}\), mà \(O A = O B = R\).

Suy ra tam giác \(O A B\) vuông cân tại \(O\).

Mặt khác \(O H ⊥ A B = \left{\right. H \left.\right}\).

Suy ra \(\Delta O H A\) vuông cân tại \(H\) suy ra \(O H = H A = \frac{A B}{2}\).

Kẻ \(O H\) vuông góc với \(A B\) tại \(H\).

Khi đó \(H\) là trung điểm của \(A B\) hay \(A H = \frac{A B}{2} = \frac{3}{2}\).

Vì cung nhỏ \(= 10 0^{\circ}\) nên \(\hat{A O B} = 10 0^{\circ}\)

Hay \(\hat{A O H} = 5 0^{\circ}\).

Ta có \(A O = \frac{A H}{sin ⁡ \hat{A O H}} = \frac{3}{2 sin ⁡ 5 0^{\circ}} = 2\) cm.

Tứ giác \(A B C D\) có \(\hat{B} = \hat{D} = 9 0^{\circ}\) nên \(O A = O B = O C = O D\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Suy ra bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cùng nằm trên một đường tròn tâm \(O\), đường kính \(A C\).

\(A C\) là đường kính, \(B D\) là dây không đi qua điểm \(O\).

Suy ra \(A C > B D\).

Tam giác \(A B C\) có hai đường cao \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) nên

\(\hat{B C^{'} C} = \hat{B B^{'} C} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(O B = O C = O B^{'} = O C^{'}\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Do đó bốn điểm \(B\), \(C^{'}\), \(B^{'}\), \(C\) cùng nằm trên đường tròn tâm \(O\) bán kính \(O B^{'}\).

Đường kính \(B C\), \(B^{'} C^{'}\) là dây cung nên độ dài \(B^{'} C^{'}\) nhỏ hơn độ dài \(B C\).

Vẽ \(O H ⊥ M N\) tại \(H\) thì \(H M = H N = \frac{1}{2} M N = \frac{R}{2}\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông \(O M H\), ta được:

\(O H^{2} = O M^{2} - M H^{2} = R^{2} - \left(\right. \frac{R}{2} \left.\right)^{2} = \frac{3 R^{2}}{4}\)

\(O H = \sqrt{\frac{3 R^{2}}{4}} = \frac{R \sqrt{3}}{2}\)

Vậy khoảng cách từ \(O\) đến dây \(M N\) là \(\frac{R \sqrt{3}}{2}\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(O A\).

Ta có \(O I = \frac{1}{2} O A = \frac{1}{2} . 10 = 5\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông \(I M O\), ta được:

\(I M^{2} = O M^{2} - O I^{2} = 1 0^{2} - 5^{2} = 75\)

Suy ra \(I M = 5 \sqrt{3}\).

Ta có \(M N \bot O A\) tại trung điểm \(I\) của \(O A\), nên:

\(I M = I N = \frac{1}{2} M N\) nên \(M N = 2 I M = 2.5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3}\).

Xét tứ giác \(M N P Q\), ta có: \(M Q\) // \(N P\) và \(M N\) // \(P Q\) suy ra \(M N P Q\) là hình bình hành.

Kéo dài \(A D\) và \(B C\) cắt nhau tại \(E\).

Ta có: \(\hat{C} + \hat{D} = 9 0^{\circ}\) suy ra \(\hat{E} = 9 0^{\circ}\).

Lại có:\(M N\) // \(E D\) và \(M Q\) // \(E C\) suy ra \(M N ⊥ M Q\)

Do đó \(M N P Q\) là hình chữ nhật suy ra \(M , N , P , Q\) nằm trên một đường tròn với tâm là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật, bán kính bằng nửa đường chéo.

Vì tam giác \(A B C\) đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao.

Suy ra \(A M , B N , C P\) lần lượt vuông góc với \(B C , A C , A B\).

\(\Delta B P C\) là tam giác vuông, có \(B C\) là cạnh huyền nên \(M P = \frac{1}{2} B C = B M = M C\) (1)

\(\Delta B N C\) là tam giác vuông, có \(B C\) là cạnh huyền nên \(N M = \frac{1}{2} B C = B M = M C\) (2) 

Từ (1) và (2) suy ra \(P M = N M = M B = M C\) hay các điểm \(B , P , N , C\) cùng thuộc đường tròn, đường kính \(B C = a\), tâm đường tròn là trung điểm \(M\) của \(B C\).

Vì ba tam giác \(A D M , A E M , A H M\) có chung cạnh huyền \(A M\) nên ba đỉnh góc vuông \(D , E , H\) nằm trên đường tròn đường kính \(A M\) có tâm là trung điểm của \(A M\).

Vậy năm điểm \(A , D , M , H , E\) cùng nằm trên một đường tròn.