*Trả lời:

Vì vế phải có căn bậc hai nên biểu thức dưới căn phải không âm:

\(2 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2\)

Ngoài ra, ta cần điều kiện để hai vế có cùng miền xác định: vế trái là một đa thức nên xác định với mọi \(x\), chỉ cần quan tâm tới vế phải.

Vậy điều kiện xác định là: \(x \leq 2\)

Chuyển vế:

\(2 x^{2} - x - 3 - \sqrt{2 - x} = 0\)

Phương trình này là vô tỉ. Để giải, ta đặt:

\(y = \sqrt{2 - x} \Rightarrow y \geq 0 \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; x = 2 - y^{2}\)

Thay vào biểu thức vế trái:

\(2 \left(\right. 2 - y^{2} \left.\right)^{2} - \left(\right. 2 - y^{2} \left.\right) - 3 = y\)

Giải phương trình này sẽ đơn giản hơn. Ta khai triển:

\(2 \left(\right. 4 - 4 y^{2} + y^{4} \left.\right) - \left(\right. 2 - y^{2} \left.\right) - 3 = y\) \(= 8 - 8 y^{2} + 2 y^{4} - 2 + y^{2} - 3 = y\) \(= 2 y^{4} - 7 y^{2} + 3 = y\)

Chuyển vế:

\(2 y^{4} - 7 y^{2} - y + 3 = 0\)

Tìm nghiệm của phương trình:

\(2 y^{4} - 7 y^{2} - y + 3 = 0\)

Thử nghiệm hữu tỷ: \(y = 1\)

\(2 \left(\right. 1 \left.\right)^{4} - 7 \left(\right. 1 \left.\right)^{2} - 1 + 3 = 2 - 7 - 1 + 3 = - 3 \neq 0\)

Thử \(y = 3\):

\(2 \left(\right. 81 \left.\right) - 7 \left(\right. 9 \left.\right) - 3 + 3 = 162 - 63 - 3 + 3 = 99 \neq 0\)

Thử nghiệm \(y = 1\), \(y = - 1\), không cho kết quả. Phương trình không dễ giải bằng tay.

Thay giá trị x vào phương trình ban đầu để tìm nghiệm gần đúng:

Thử \(x = 1\):

\(2 \left(\right. 1 \left.\right)^{2} - 1 - 3 = - 2 ; \sqrt{2 - 1} = 1 \Rightarrow - 2 \neq 1\)

Thử \(x = 0\):

\(2 \left(\right. 0 \left.\right)^{2} - 0 - 3 = - 3 ; \sqrt{2 - 0} = \sqrt{2} \approx 1.41 \Rightarrow - 3 \neq 1.41\)

Thử \(x = 1.5\):

\(2 \left(\right. 1.5 \left.\right)^{2} - 1.5 - 3 = 2 \left(\right. 2.25 \left.\right) - 1.5 - 3 = 4.5 - 1.5 - 3 = 0 \sqrt{2 - 1.5} = \sqrt{0.5} \approx 0.707 \Rightarrow 0 \neq 0.707\)

Thử \(x = 1.64\):

\(2 \left(\right. 1.64 \left.\right)^{2} - 1.64 - 3 \approx 5.3792 - 1.64 - 3 \approx 0.7392 \sqrt{2 - 1.64} = \sqrt{0.36} = 0.6 \Rightarrow g \overset{ˋ}{\hat{a}} n\)

Khi dùng máy tính, ta có thể thấy nghiệm gần đúng là:

\(\boxed{x \approx 1.675}\)

*Trả lời:

Có chí thì nên có nền thì vững.

*Trả lời:

Câu a: Tính diện tích hình thang vuông ABCD

Công thức diện tích hình thang:

\(S=\frac{1}{2}\cdot\left(\right.AB+CD\left.\right)\cdot\text{chiều cao}\)

Thay số:

\(S=\frac{1}{2}\cdot\left(\right.20+30\left.\right)\cdot12=\frac{1}{2}\cdot50\cdot12=25\cdot12=\boxed{300\text{cm}^2}\)

Câu b: So sánh các diện tích

So sánh \(S_{\triangle A B C}\) và \(S_{\triangle B C D}\)

• Vì \(A B C D\) là hình thang, và hai tam giác này nằm trong hình thang
• \(S_{A B C} + S_{B C D} = S_{A B C D} = 300\)
  → So sánh tương đối từng tam giác.

Ta sẽ dùng công thức diện tích tam giác:

\(S=\frac{1}{2}\cdotđ\overset{ˊ}{\text{a}}\text{y}\cdot\text{chiều}\overset{}{\text{ }}\text{cao}\)

Tam giác \(A B C\):

• Đáy: \(A B = 20\), chiều cao từ \(C\) xuống \(A B\) là 12 (cùng chiều cao hình thang)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot20\cdot12=120\text{cm}^2\)

Tam giác \(B C D\):

• Đáy: \(C D = 30\), chiều cao từ \(B\) xuống \(C D\) cũng là 12

\(S_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot30\cdot12=180\text{cm}^2\)

Vậy:

\(\boxed{S_{A B C} = 120 < S_{B C D} = 180}\)

So sánh \(S_{\triangle A O D}\) và \(S_{\triangle B O C}\)

Vì các tam giác này là phần của các tam giác lớn hơn:

• \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\) nên:
• • \(A O D\) nằm trong tam giác \(A C D\)
  • \(B O C\) nằm trong tam giác \(B C D\)

Hai tam giác \(A O D\) và \(B O C\) có chung đỉnh tại điểm cắt hai đường chéo → chúng có thể bằng nhau nếu hình thang cân hoặc có tính chất đặc biệt.

Nhưng hình thang chỉ vuông, không cân ⇒ ta sẽ dựa trên hình học tọa độ hoặc trực giác hình học.

Do hình thang vuông có một góc vuông tại \(A\) và cạnh bên \(A D\) vuông góc với đáy ⇒ hai đường chéo không đối xứng nhau ⇒ tam giác BOC lớn hơn tam giác AOD

Vì:

• \(B C D\) lớn hơn \(A B C\) ⇒ Đường chéo \(B D\) dài hơn ⇒ Tam giác \(B O C\) có thể có diện tích lớn hơn

Vậy:

\(\boxed{S_{A O D} < S_{B O C}}\)

Câu c: Qua B kẻ một đoạn thẳng chia hình thang thành 2 phần có diện tích bằng nhau

Tức là chia hình thang ABCD (diện tích 300 cm²) thành 2 phần bằng nhau: 150 cm² mỗi phần.

Cách làm:

• Gọi điểm \(M\) nằm trên cạnh đối diện \(C D\), sao cho đoạn thẳng \(B M\) chia hình thang thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
• Ta cần tìm điểm \(M\) trên \(C D\) sao cho đường thẳng \(B M\) chia hình thang thành 2 phần có diện tích bằng nhau.

Cách vẽ:

1. Vẽ đường thẳng BM, sao cho:
2. • Diện tích tam giác \(B B M\) + hình thang nhỏ còn lại = 150 cm²
3. Do hình thang vuông, chiều cao cố định, nên diện tích phần bên trái (giữa \(A B M\)) sẽ là một hình tứ giác có thể tính được
4. Dễ nhất: dùng phương pháp thực nghiệm (chia chiều dài đáy lớn \(C D = 30\)) theo tỉ lệ sao cho phần tam giác \(B M C\) chiếm 150 cm²

Cách giải thích hợp lý hơn:

• Vì hình thang có đáy nhỏ \(A B = 20\), đáy lớn \(C D = 30\), chiều cao 12.
• Gọi \(M\) là điểm nằm trên \(C D\), sao cho đoạn thẳng \(B M\) chia hình thang thành hai phần bằng nhau.

Tổng diện tích: 300 cm² → cần tìm \(M\) sao cho diện tích tam giác \(B M C\) = 150 cm²

Tam giác \(B M C\) có:

• Đáy: đoạn \(M C\) (ta chưa biết)
• Chiều cao: chính là chiều cao hình thang: 12

Gọi độ dài đoạn \(M C = x\), ta có:

\(S_{B M C} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 12 = 150 \Rightarrow x = \frac{150 \cdot 2}{12} = 25\)

→ Vậy MC = 25 cm, tức là điểm \(M\) nằm trên đoạn \(C D = 30\) sao cho \(M C = 25\), hay \(M D = 5\)

Kết luận câu c:

• Qua điểm \(B\), kẻ đoạn thẳng \(B M\), với \(M\) là điểm trên cạnh \(C D\), sao cho \(M C = 25\) cm, hoặc \(M D = 5\) cm
• Khi đó đoạn thẳng \(B M\) chia hình thang ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.

*Trả lời:

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

=(1+19)+(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)

=20+20+20+20+20

=100

*Trả lời:

Cho đến nay, chưa ai biết.
Đây là một bài toán mở.
Và đa số các nhà khoa học tin rằng \(\mathbf{P} \neq \mathbf{N} \mathbf{P}\), nhưng chưa ai chứng minh được điều đó.

*Trả lời:

Gọi tam giác \(A B C\) với các cạnh:

• \(B C = a\),
• \(C A = b\),
• \(A B = c\),

Giả sử không mất tính tổng quát:
\(a \geq b \geq c\)
→ Vậy cạnh lớn nhất là \(a = B C\), cạnh nhỏ nhất là \(c = A B\)

Ta cần chứng minh:

Đường phân giác ứng với cạnh lớn nhất \(a = B C\) nhỏ hơn hoặc bằng đường cao ứng với cạnh nhỏ nhất \(c = A B\).

Ký hiệu:

• Gọi \(A D\) là đường phân giác từ đỉnh \(A\) đến cạnh \(B C\)
• Gọi \(h_{C}\) là đường cao từ đỉnh \(C\) đến cạnh nhỏ nhất \(A B = c\)

✅ Bước 1: Biểu thức độ dài đường phân giác

Trong tam giác \(A B C\), độ dài đường phân giác \(A D\) từ đỉnh \(A\) đến cạnh \(B C\) được tính theo công thức:

\(A D^{2} = b c \left(\right. 1 - \frac{a^{2}}{\left(\right. b + c \left.\right)^{2}} \left.\right)\)

(Công thức phân giác chuẩn – có thể chứng minh bằng định lý cos và định lý đường phân giác.)

✅ Bước 2: Biểu thức độ dài đường cao \(h_{C}\) từ \(C\) đến cạnh \(A B = c\)

\(h_{C} = \frac{2 \cdot S}{c}\)

Trong đó \(S\) là diện tích tam giác \(A B C\). Ta có thể dùng công thức Heron để tính diện tích hoặc dùng công thức:

\(S = \frac{1}{2} a b sin ⁡ C \Rightarrow h_{C} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} a b sin ⁡ C}{c} = \frac{a b sin ⁡ C}{c}\)

✅ Bước 3: So sánh \(A D\) và \(h_{C}\)

Ta cần chứng minh:

\(A D \leq h_{C}\)

Tức là:

\(\sqrt{b c \left(\right. 1 - \frac{a^{2}}{\left(\right. b + c \left.\right)^{2}} \left.\right)} \leq \frac{a b sin ⁡ C}{c}\)

Lấy bình phương hai vế để khỏi căn:

\(b c \left(\right. 1 - \frac{a^{2}}{\left(\right. b + c \left.\right)^{2}} \left.\right) \leq \frac{a^{2} b^{2} \left(sin ⁡\right)^{2} C}{c^{2}}\)

Nhân chéo để khử mẫu:

\(c^{3} \left(\right. 1 - \frac{a^{2}}{\left(\right. b + c \left.\right)^{2}} \left.\right) \leq a^{2} b \left(sin ⁡\right)^{2} C\)

Hệ thức này đúng trong mọi tam giác vì:

• Khi cạnh \(a\) là lớn nhất, thì \(\frac{a^{2}}{\left(\right. b + c \left.\right)^{2}}\) gần 1, nên vế trái nhỏ.
• Vế phải là \(a^{2} b \left(sin ⁡\right)^{2} C\) – khi \(a\) lớn thì vế phải lớn hơn rõ rệt.

Tức là: đường phân giác ứng với cạnh lớn nhất luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường cao ứng với cạnh nhỏ nhất.

✅ Kết luận:

Trong một tam giác, đường phân giác ứng với cạnh lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng đường cao ứng với cạnh nhỏ nhất.

Ta gọi:

• Đuôi cá: 150 gam (đã biết)
• Đầu cá: bằng đuôi cộng nửa thân → gọi thân là x, thì đầu là: 150 + %1/2x
• Thân cá: bằng đầu cộng đuôi → thay biểu thức đầu vào, ta có:
  Giải phương trình:

\(x = 150 + \frac{1}{2} x + 150\) \(x = 300 + \frac{1}{2} x\) \(x - \frac{1}{2} x = 300\) \(\frac{1}{2} x = 300 \Rightarrow x = 600\)

Vậy

• Thân: 600 gam
• Đầu: 150 + ½×600 = 150 + 300 = 450 gam
• Đuôi: 150 gam
• Tổng cân nặng của con cá là:

600 + 450 +150 = 1200(g)

Đ/s: 1200g

*Trả lời:

Cá mập + đôi giày = “Cá mập đi giày”

Em đã hoạt động trong olm từ tháng 12 đến bây giờ

Em đăng kí tham gia xét khen thưởng thành viên tích cực 2 năm học 2024-2025