nhân cả hai vế với 4 và +1 ta dc

\(4\left(9^{m}-3^{m}\right)+1=4\left(n^4+2n^3+n^2+2n\right)+1\)

\(4\cdot3^{2m}-4\cdot3^{m}+1=4n^4+8n^3+4n^2+8n+1\)

\(\left(2\cdot3^{m}-1\right)^2=4n^4+8n^3+4n^2+8n+1\)

ta có: \(VP-\left(2n^2+2n\right)^2=8n+1>0\)

=> \(VP>\left(2n^2+2n\right)^2\) (1)

ta có: \(\left(2n^2+2n+1\right)^2-VP=4n\left(n-1\right)\)

từ (1)=> \(VP\ge\left(2n^2+2n+1\right)^2\)

=> \(\left(2n^2+2n+1\right)^2-VP\le0\Rightarrow4n\left(n-1\right)\le0\)

TH1: n=0

=> \(3^{2m}=3^{m}\Rightarrow2m=m\Rightarrow m=0\) (TM)

TH2: n=1

=> \(3^{2m}-3^{m}=6\)

đặt \(t=3^{m}\left(t>0\right)\)

\(\Rightarrow t^2-t-6=0\Rightarrow\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0\)

vì t>0=> t=3=> m=1

vậy (m,n) thỏa mãn là (0,0);(1,1)

1. => \(3S=1+\frac13+\cdots+\frac{1}{3^{99}}\)

=> \(3S-S=\left(1+\frac13+\cdots+\frac{1}{3^{99}}\right)-\left(\frac13+\cdots+\frac{1}{3^{100}}\right)\)

\(2S=1-\frac{1}{3^{100}}\)

=> \(S=\frac12-\frac12\cdot\frac{1}{3^{100}}\)

2. vì \(\frac12-\frac12\cdot\frac{1}{3^{100}}<\frac12\)

=> \(S<\frac12\left(đpcm\right)\)

ta có: \(f\left(n\right)=\left(n+4\right)^4-n^4=16\left(n+2\right)\left(n^2+4n+8\right)\)

a) => f(n) ⋮16

vì (16,3)=1

=> \(\left(n+2\right)\left\lbrack\left(n+2\right)^2+4\right\rbrack\) ⋮3

TH1: nếu (n+2)⋮3

=> n+2=3k=>n=3k-2(k là một số nguyên dương)

TH2: nếu n+2 ko chia hết cho 3

ta có: \(\left(n+2\right)^2\equiv1\) (mod 3)

=> \(\left(n+2\right)^2+4\equiv1+4=5\equiv2\) (mod 3)

vì (n+2) và \(\left(n+2\right)^2+4\) đều ko chia hết cho 3 vậy nên tích của chúng cx ko chia hết cho 3

vậy n=3k-2

c) ta có: \(24^2=576=16\cdot36\)

=> \(\left(n+2\right)\left\lbrack\left(n+2\right)^2+4\right\rbrack\) ⋮36

vì 36=4 . 9 và (4,9)=1 nên biểu thức trên phải chia hết cho 4 và 9

ĐK1: chia hết cho 9

khi (n+2)⋮3

đặt n+2=3k

=> \(3k\left\lbrack\left(3k\right)^2+4\right\rbrack=27k^3+12k\)

để \(27k^3+12k\vdots9\Rightarrow12k\vdots9\Rightarrow4k\vdots3\Rightarrow k\vdots3\)

đặt k=3m

=> n+2=3(3m)=9m=>n=9m-2

ĐK2: chia hết cho 4

nếu n là số lẻ => n+2 và \(\left(n+2\right)^2+4\) là số lẻ

=> tích hai số cx là số lẻ nên ko chia hết cho 4

nếu n là số chẵn

đặt n+2=2x

=> \(2x\left\lbrack\left(2x\right)^2+4\right\rbrack=8x\left(x^2+1\right)\vdots4\)

vậy n là số chẵn

mà ta có n=9m-2=> 9m phải là số chẵn=> m là số chẵn

đặt m=2p=> n=18p-2(p là số tự nhiên)

ta có: a-c= (a-b)+(b-c)=10

tử số = \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)

=> \(2\times\) tử số = \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\)

=> \(2\times\) tử số= \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=7^2+3^2+10^2=158\)

=> tử số= 79

mẫu số= \(a^2-c^2-2ab+2bc\)

= \(\left(a-c\right)\left(a+c-2b\right)=\left(a-c\right)\left\lbrack\left(a-b\right)-\left(b-c\right)\right\rbrack=40\)

=> \(P=\frac{79}{40}\)

bạn chưa vẽ điểm H nha nhưng nếu theo cách mik vẽ thì hình như H là trọng tâm △ABC đk

a) xét △AEM vuông tại E

=> \(EI=\frac12AM=IA=IM\)

CMTT:=> \(FI=\frac12AM=IA=IM\)

xét △ADM vuông tại D

=> \(DI=\frac12AM=IA=IM\)

=> \(IE=IF=ID=\frac12AM\)

ta có góc tại tại đỉnh I của △IAE:

góc EIM= 2 x góc EAM

CMTT: góc DIM=2 x góc DAM

=> góc DIE= \(\left\vert\right.\) góc EIM- góc DIM\(\left\vert\right.\) =2\(\left\vert\right.\) góc EAM- góc DAM\(\left\vert\right.\) =2 x góc BAD

mà △ABC đều nên AD vừa là đường cao vùa là p/ giác

=> góc BAD= 30 độ

=> góc DIE= 2 x 30 độ= 60 độ kết hợp với IE=ID

=> △IDE là tam giác đều

=> DE=IE=ID

CMTT:=>góc DIF= 60 độ

=> △IDF là tam giác đều

=> DF=IF=ID

=> IE=ED=DF=FI

=> tứ giác DEIF là h/ thoi

b) ta có: \(S_{ABC}=S_{ABM}+S_{ACM}\)

=> \(\frac12\cdot AD\cdot BC=\frac12ME\cdot AB+\frac12\cdot MF\cdot AC\)

vì AB=BC=AC nên ta chia cả hai vế cho \(\frac12\cdot BC\)

=> \(AD=ME+MF\)

c) C1: giả sử tia MO cắt AD tại H'

vẽ đường thẳng từ D song song với OM cắt AM tại K

xét △IDK có:

OM//DK

O là trung điểm ID

=> M là t/ điểm IK

=> IM=IK

=> AI=IM=IK và AM=2IM

xét △ADK có H'M//DK

=> \(\frac{AH^{\prime}}{H^{\prime}D}=\frac{AM}{AK}\)

=> \(\frac{AH^{\prime}}{H^{\prime}D}=\frac{2IM}{IK}=2\Rightarrow AH^{\prime}=2H^{\prime}D\)

đồng thời H là trọng tâm △ABC nên AH=2HD

=> H trùng H'

=> M,O,H thẳng thàng

=> MH,ID,EF đồng quy (đpcm)

C2: ta có: \(\frac{HD}{HA}\cdot\frac{MA}{MI}\cdot\frac{OI}{OD}=\frac12\cdot2\cdot1=1\)

theo đ/lí Menelaus đảo => M,O,H thẳng hàng

=> MH,ID,EF đồng quy(đpcm)

a) gọi H là giao của MP và QN

ta có góc BFC+ góc FBC= 90 độ

góc AEB+ góc ABE= 90 độ

mà góc FBC hay chính là góc ABE

=> góc BFC= góc AEB

=> \(\frac12\) x góc BFC=\(\frac12\) x góc AEB

=> góc NFC= góc HEN

ta có góc FNC+ góc NFC= 90 độ

=> góc HEN+ góc FNC= 90 độ hay góc HEN+ góc HNE=90 độ

=> góc EHN= 90 độ

=> EP⊥FQ

b) xét tam giác QEN có:

EH vừa là đường cao vừa là phân giác

=> △QEN cân tại E

=> EH là đường trung tuyến

=> H là trung điểm QN

CMTT: △MFQ

=> H là trung điểm MP

tứ giác MNPQ có:

QN và MP giao nhau tại trung điểm mỗi đường

MP và QN vuông góc với nhau

=> tứ giác MNPQ là hình thoi(đpcm)

ta có: \(\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}=\frac{2ab-b^2}{a\left(b+c\right)}=\frac{a^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)}{a\left(b+c\right)}=\frac{a}{b+c}-\frac{\left(a-b\right)^2}{a\left(b+c\right)}\)

ta cần CM: \(VT=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)-\left\lbrack\frac{\left(a-b\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{\left(b-c\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\frac{\left(c-a\right)^2}{c\left(a+b\right)}\right\rbrack\le\frac32\)

\(\sum\limits\frac{a}{b+c}-\sum\limits{\frac{\left(a-b\right)^2}{a\left(b+c\right)}}\le\frac32\) ( cậu thick tớ vt dạng tổng quát kiểu này hay bị chèn như ở trên)

<=> \(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)-\frac32\le\frac{\left(a-b\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{\left(b-c\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\frac{\left(c-a\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)

ta có hằng đẳng thức

\(\sum\limits{\frac{a}{b+c}}-\frac32=\sum\limits{\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

CM: \(VT=\left(\frac{a}{b+c}-\frac12\right)+\left(\frac{b}{a+c}-\frac12\right)+\left(\frac{c}{a+b}-\frac12\right)\)

\(VT=\frac{2a-b-c}{2\left(b+c\right)}+\frac{2b-a-c}{2\left(a+c\right)}+\frac{2c-a-b}{2\left(a+b\right)}\)

ta có: \(2a-b-c=\left(a-b\right)+\left(a-c\right)=\left(a-b\right)-\left(c-a\right)\)

=> \(VT=\frac{\left(a-b\right)-\left(c-a\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{\left(b-c\right)-\left(a-b\right)}{2\left(c+a\right)}+\frac{\left(c-a\right)-\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)}\)

\(VT=\sum\limits{\left(a-b\right)\left\lbrack\frac{1}{2\left(b+c\right)}-\frac{1}{2\left(c+a\right)}\right\rbrack}\)

mà \(\frac{1}{2\left(b+c\right)}-\frac{1}{2\left(c+a\right)}=\frac{\left(c+a\right)-\left(b+c\right)}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{\left(a-b\right)}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

=> \(VT=\sum\limits{\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

vậy ta cần CM: \(\sum\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\sum{\frac{\left(a-b\right)^2}{a\left(b+c\right)}}\)

<=> \(\sum\limits{\left\lbrack\frac{\left(a-b\right)^2}{a\left(b+c\right)}-\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right\rbrack\ge0}\)

\(\Leftrightarrow\sum\limits{\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(b+c\right)}}\left\lbrack\frac{1}{a}-\frac{1}{2\left(c+a\right)}\right\rbrack\ge0\)

<=> \(\sum{\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+2c\right)}{2a\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\ge0\) ( điều này luôn đúng)

dấu "=" xảy ra khi a=b=c

sau mik vt thế cho gọn:v, vt đầy đủ mỏi tay thực sự, mà mik đi về nhà nội đây:), bye cậu nha

làm 6 cái/ ngày thì thừa số bàn là: 6 x 2=12( cái bàn)

làm 4 cái/ ngày thì thiếu số bàn là: 4 x 2=8( cái bàn)

chênh lệch tổng số bàn giữa 2 cách làm tổng số ngày dự định là:

12+8=20( cái bàn)

mỗi ngày làm 6 cái hơn ngày làm 4 cái là:

6-4=2( cái)

số ngày bác thợ mộc dự định làm là:

20:2=10( ngày)

số bàn bác thợ cần đóng là:

6 x(10-2)=48( cái bàn)

a) \(\Leftrightarrow a^2b+ab^2-a^2c-ac^2-b^2c+bc^2\)

= \(\left(a^2b-a^2c\right)+\left(ab^2-ac^2\right)-\left(b^2c-bc^2\right)\)

= \(a^2\left(b-c\right)+a\left(b^2-c^2\right)-bc\left(b-c\right)\)

\(=a^2\left(b-c\right)+a\left(b-c\right)\left(b+c\right)-bc\left(b-c\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a^2+ab+ac-bc\right)\)

b) \(\Leftrightarrow a^3\left(b-c\right)-b^3\left\lbrack\left(b-c\right)+\left(a-b\right)\right\rbrack+c^3\left(a-b\right)\)

= \(a^3\left(b-c\right)-b^3\left(b-c\right)-b^3\left(a-b\right)+c^3\left(a-b\right)\)

= \(\left(b-c\right)\left(a^3-b^3\right)-\left(a-b\right)\left(b^3-c^3\right)\)

= \(\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)\)

= \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a^2+ab-bc-c^2\right)\)

= \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)\)

=> \(y^2=-x^2+x+2\)

vì \(y\ge0\Rightarrow y^2\ge0\)

=> \(-x^2+x+2\ge0\Rightarrow\left(x+1\right)\left(2-x\right)\ge0\)

=> \(-1\le x\le2\) kết hợp với t/c \(x\ge0\Rightarrow0\le x\le2\)

tìm GTLN:

=> \(x^2+x+y^2=2\)

\(\left(x-\frac12\right)^2+y^2=2+\frac14=\frac94\)

ta có: \(P=x+2y=\left(x-\frac12_{}\right)+2y+\frac12\)

áp dụng Bunhiacopxki cho... ta có:

\(\left\lbrack1\cdot\left(x-\frac12\right)+2\cdot y\right\rbrack^2\le\left(1^2+2^2\right)\left\lbrack\left(x-\frac12\right)^2+y^2\right\rbrack\)

=> \(\left(P-\frac12\right)^2\le5\cdot\frac94=\frac{45}{4}\)

=> \(P-\frac12\le\frac{3\sqrt5}{2}\)

=> \(P\le\frac{3\sqrt5+1}{2}\)

dấu"=" xảy ra khi: \(\frac{x-\frac12}{1}=\frac{y}{2}\)

=> \(x=\frac{3\sqrt5+5}{10}\) và y= \(\frac{3\sqrt5}{5}\)

KL:.....

tìm GTNN:

xét bđt: \(x+2y\ge2\Rightarrow2y\ge2-x\)

vì \(2y\ge0\) và \(2-x\ge0\)

b/ phương hai vế lên ta dc

\(4y^2\ge\left(2-x\right)^2\)

thế \(y^2=-x^2+x+2\)

<=> \(-4x^2+4x+8\ge x^2-4x+4\)

=> \(5x^2-8x-4\le0\)

\(\left(x-2\right)\left(5x+2\right)\le0\)

vì \(x\ge0\Rightarrow5x+2>0\)

\(x\le2\Rightarrow x-2\le0\) ( bt luôn đúng)

vậy GTNN của P là 2

dấu "=" xảy ra khi x=2(TM), \(-\frac25\) (KTM); y=0