ta có: \(\frac{a^2}{a+2b^3}=\frac{a\left(a=2b^3\right)-2ab^3}{a+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{a+2b^3}\)

\(a+2b^3=a+b^3+b^3\ge3^3\sqrt{a\cdot b^3\cdot b^3}=3b^{^2}\) \(^3\sqrt{a}\)

\(\frac{2ab^3}{a+2b^3}\le\frac{2ab^3}{3b^23\sqrt{a}}=\frac23b^3\sqrt{a^2}\)

ta có: \(^3\sqrt{a^2}\le\frac{a+a+1}{3}=\frac{2a+1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{2ab^3}{a+2b^3}\le\frac23b\cdot\frac{2a+1}{3}=\frac{4ab+2b}{9}\)

=> \(\frac{a^2}{a+2b^3}\ge a-\frac{4ab+2b}{9}\)

=> \(VT\ge\left(a+b+c\right)-\frac{4\left(ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)}{9}\)

ta có bđt phụ: \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)

=> \(VT\ge3-\frac{4\cdot3+2\cdot3}{9}=1\)

dấu "=" xảy ra khi : a=b=c=1(đpcm)

1.Em tên họ đầy đủ là: Nguyễn Bá Hải Phong

2. Trường Trung Học Cơ Sở Văn Khê,lớp 9- thành phố Hà Nội

3. Số câu trả lời hiện tại của em là: 1203

4. Số điểm gp hiện tại của em là: 22 gp

5. Số điểm sp hiện tại của em là: 923 sp

6. Em tham gia Olm từ tháng 10 năm 2024

Em đăng kí tham gia sự kiện"Xét khen thưởng CTV Olm Hè Năm 2026

C1: lớp 8 lên 9

gọi giao BQ và CF là I

=> góc PCI=(góc PCQ):2=45 độ:2=22,5 độ

xét tam giác BCI vuông tại I

=> góc IBC=180 độ-(90 độ+45 độ+22,5 độ)=22,5 độ

=> góc DBQ= 45 độ- 22,5 độ=22,5 độ

=> góc DBQ= góc CBQ

=> BP là p/ giác của góc EBC

=> \(\frac{EP}{PC}=\frac{EB}{BC}\)

=> \(EP=\frac{PC\cdot EB}{BC}\)

=> \(2EP=\frac{2\cdot EB\cdot PC}{BC}=\frac{BD\cdot PC}{BC}\) (1)

xét tam giác PCQ có:

CI vừa là đường cao vừa là đường p/ giác

=> △PCQ cân tại C

=> PC=CQ

xét tam giác BCD có BQ là p/ giác góc DBC ta có:

\(\frac{DQ}{QC}=\frac{BD}{BC}\Rightarrow DQ=\frac{QC\cdot BD}{BC}=\frac{PC\cdot BD}{BC}\) (2)

từ (1)(2)=> DQ=2EP(đpcm)

C2: cho 7 lên 8

CMTT: => góc ABP= góc QPB= 67,5 độ

=> △ABP cân tại A=> AB=AP=CD

CM lại: △PCQ cân tại C=> PC=QC

ta có: AC=AP+PC

=> AC=CD+QC

mà AC=2EC và EC=EP+PC

=> AC=2(EP+PC)=2EP+2PC

=> 2EP+2QC=CD+QC

2EP+QC=CD

2EP+QC=DQ+QC

2EP=DQ(đpcm)

cho một tick là biết đã đọc và câu trả lời này đúng

Em đăng kí nhận thưởng sự kiện khen thưởng ctv tích cực tháng 8 năm 2026

a) sửa đề: \(\left(x+y\right)^3+\left(x-y\right)^3\)

= \(\left\lbrack\left(x+y\right)+\left(x-y\right)\right\rbrack\left\lbrack\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)\left(x-y\right)+\left(x-y\right)^2\right\rbrack\)

= \(2x\left\lbrack x^2+2xy+y^2-x^2+y^2+x^2-2xy+y^2\right\rbrack\)

= \(2x\left(x^2+3y^2\right)\)

b) <=> \(\left(x-y\right)^3-\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)

= \(\left(x-y\right)\left(x^2-2xy+y^2-x-y\right)\)

a) => \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=16\left(\operatorname{cm}\right)\)

=> BH=\(\frac{AB^2}{BC}=7,2\left(\operatorname{cm}\right)\)

=> \(AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=9,6\left(\operatorname{cm}\right)\)

b) ta có hệ thức lượng: \(AE\cdot AB=AH^2\)

mà xét △AHC vuông tại H

=> \(AH^2=AC^2-HC^2\)

=> \(AE\cdot AB=AC^2-HC^2\)

c) CM dc: AF=HE và góc AHE= góc B

vì góc B+ góc C= 90 độ=> tan C=cot B= cot( góc AHE)

ta có : cot (góc AHE)=\(\frac{EH}{AE}\Rightarrow HE=AE\cdot\cot\left(AHE\right)\)

mà HE=AF và cot(AHE)= tan C

=> AF=AE. tan C

d) ta có: \(BE=\frac{BH^2}{AB}=\frac{\left(\frac{AB^2}{BC}\right)^2}{AB}=\frac{AB^4}{BC^2\cdot AB}=\frac{AB^3}{BC^2}\)

CMTT:=> \(CF=\frac{CH^2}{AC}=\frac{\left(\frac{AC^2}{BC}\right)^2}{AC}=\frac{AC^4}{BC^2\cdot AC}=\frac{AC^3}{BC^2}\)

=> \(\frac{BE}{CF}=\frac{AB^3}{BC^2}:\frac{AC^3}{BC^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^3\) (đpcm)

a) ta có \(\sqrt{3^2+4^2}=5\)

=> △ABC vuông tại A

b) ta có AH.BC=AB.AC

=> \(AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{3\cdot4}{5}=2,4\left(\operatorname{cm}\right)\)

ta có: \(BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{3^2}{5}=1,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

c) \(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac45=0,8\)

=> góc B xấp xỉ 58,13 độ

=> góc C= 90 độ- 58,13 độ=36,87 độ

d) dễ CM: tứ giác AEHD là hcn

=> AH=DE

ta có: \(BD\cdot CE\cdot BC=\frac{BH^2\cdot CH^2\cdot BC}{AB\cdot AC}\)

\(BD\cdot CE\cdot BC=\frac{\left(AH^2\right)^2\cdot BC}{AH\cdot BC}=AH^3=DE^3\left(đpcm\right)\)

a) \(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2-y^2=\left(x-3-y\right)\left(x-3+y\right)\)

b) \(4x^2-\left(y^2-4x+4\right)=\left(2x\right)^2-\left(y-2\right)^2\)

= \(\left(2x-y+2\right)\left(2x+y-2\right)\)

c) \(\Leftrightarrow\left(z^2+xz\right)+\left(xy+yz\right)\)

= \(z\left(x+z\right)+y\left(x+z\right)\)

= \(\left(x+z\right)\left(z+y\right)\)

d) \(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(xz-2yz\right)\)

= \(\left(x-2y\right)^2+z\left(x-2y\right)\)

= \(\left(x-2y\right)\left(x-2y+z\right)\)

TH1: n là số lẻ

đặt \(2^{n}+n^2=a^2\)

=> \(a^2\) là số lẻ => a là số lẻ

\(\Rightarrow2^{n}=a^2-n^2=\left(a-n\right)\left(a+n\right)\)

vì a,n là số lẻ => a-n và a+n là hai số chẵn

=> đặt \(a-n=2^{u}\) và \(a=n=2^{v}\) (u,v ϵ N,u<v,u+v=n)

ta có: \(\left(a+n\right)-\left(a-n\right)=2^{v}-2^{u}\Rightarrow2n=2^{u}\left(2^{v-u}-1\right)\)

vì n lẻ nên 2n chia hết cho 2 nhưng ko chia hết cho 4

=> \(2^{u}=2\Rightarrow u=1\)

=> v=n-1

=> \(2n=2\left(2^{n-2}-1\right)\Rightarrow n=2^{n-2}-1\Rightarrow2^{n-2}=n+1\)

với n=1 và 3 thì ko thỏa mãn

với \(n\ge3\Rightarrow2^{n-1}>n+2\)

vậy ko có n là số lẻ nào thỏa mãn

TH2: n là số chẵn

đặt n=2k(k∈N0=> biểu thức = \(\left(2^{k}\right)^2+4k^2\)

ta xét bđt:

\(\left(2^{k}\right)^2<\left(2^{k}\right)^2+4k^2<\left(2^{k}+1\right)^2\)

với k>0=> VT < \(\left(2^{k}\right)^2+4k^2\)

bđt bên VP tương đương với

<=> \(4k^2<2^{k+1}+1\)

bđt luôn đúng với \(k\ge7\)

ta thử lần lượt các giá trị k từ 1-> 6=> n =0;6 là thỏa mãn

các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là n ∈{0;6}