Để tính diện tích tam giác ABC, trước tiên ta sẽ xem xét mối quan hệ giữa diện tích các tam giác APN và ABC. **Bước 1: Tính diện tích tam giác ABC** Ta có tam giác APN và MC là đường trung tuyến của tam giác ABC. Theo định lý về diện tích, ta biết rằng: - Diện tích của tam giác tạo bởi trung điểm của một cạnh và một điểm bên trên hoặc bên dưới cạnh đó sẽ bằng nửa diện tích của tam giác gốc. Gọi $S$ là diện tích tam giác ABC. Do $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, nên tam giác AMC có diện tích bằng nửa diện tích tam giác ABC: $$S_{AMC}=\frac{1}{2}S$$ Mặt khác, khi kéo dài MN ra và cắt AB tại điểm P, ta cũng có thể thiết lập một tỉ lệ giữa diện tích tam giác APN và AMC thông qua độ dài AN và AM. **Bước 2: Sử dụng tỉ lệ để thiết lập diện tích** Ta biết rằng $AN=\frac{1}{4}AC$, nghĩa là điểm N chia đoạn AC thành hai phần với tỉ lệ $1:3$. Điều này có thể giúp ta suy ra tỉ lệ diện tích tam giác APN so với tam giác ABC. Khi kéo dài MN và cắt AB tại P, tam giác APN sẽ có tỉ lệ diện tích: $${\frac{S_{APN}}{S}}_{ABC}=\frac{AN}{AC}\times \frac{AM}{AB}$$ Với $S_{APN}=10$ cm², ta sẽ tính diện tích tam giác ABC. **Bước 3: Kết luận về tỉ lệ diện tích** Vì $AN=\frac{1}{4}AC$ và $AM=\frac{1}{2}AB$ nên diện tích tam giác APN so với diện tích tam giác ABC: $$\frac{S_{APN}}{S_{ABC}}=\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$ Do đó: $$10=\frac{1}{8}S⟹S=10\times 8=80{\text{cm}}^2$$ **Kết quả:** a. Diện tích tam giác APN là $10{\text{cm}}^2$. b. Diện tích tam giác ABC là $80{\text{cm}}^2$.

Bài thơ "Sáng Khai Trường" của Nguyễn Lãm Thắng mang lại cho tôi nhiều cảm xúc sâu sắc về không khí khai giảng và niềm hạnh phúc của những ngày đầu năm học mới. Những hình ảnh tươi đẹp, sống động trong bài thơ gợi nhớ về ký ức tươi xanh của tuổi học trò. Mở đầu là hình ảnh dáng vẻ rạng rỡ của thầy cô và các bạn học sinh, những nụ cười tươi tắn, ánh mắt tràn đầy hy vọng về một năm học mới đầy hứa hẹn. Âm thanh của tiếng trống khai trường vang vọng, như tiếng gọi của những ước mơ vừa chớm nở. Tác giả đã khéo léo lồng ghép những cảm xúc tự hào và ước vọng, khiến người đọc không chỉ cảm nhận được niềm vui mà còn thấy được trách nhiệm của mỗi học sinh trong việc gìn giữ truyền thống và phát huy những giá trị mà trường lớp mang lại. Qua bài thơ, tôi cũng cảm nhận được tình cảm gắn bó với mái trường, với bạn bè và thầy cô – những người đã cùng tôi vượt qua bao kỷ niệm đẹp trong cuộc đời. "Sáng Khai Trường" không chỉ là một bài thơ, mà còn là một tác phẩm nghệ thuật chạm đến cảm xúc, lòng nhiệt huyết tuổi trẻ.

Để tính tổng $1^2+2^2+3^2+\dots +{101}^2$, bạn có thể sử dụng công thức tổng bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến $n$: $$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ Trong trường hợp này, $n=101$. Thay giá trị vào công thức: $$\sum _{k=1}^{101}{k}^2=\frac{101\cdot 102\cdot 203}{6}$$ Tính từng phần: 1. $101\cdot 102=10302$ 2. $10302\cdot 203=2090606$ (bạn có thể kiểm tra lại phép nhân) 3. Chia cho 6: $$\frac{2090606}{6}=348434.33\approx 348435$$ Vì vậy, tổng $1^2+2^2+3^2+\dots +{101}^2=348350$.

B

 Cơ quan quan trọng nhất của phụ nữ là Hội Liên hiệp Phụ nữ Việt Nam.

Để giải phương trình $\frac{4}{x}+\frac{2}{y}=1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. **Đưa phương trình về dạng dễ giải**: $$\frac{4}{x}+\frac{2}{y}=1$$ Nhân cả hai vế với $xy$ (giả sử \(x eq 0\) và \(y eq 0\)): $$4y+2x=xy$$ Hay có thể viết lại thành: $$xy-4y-2x=0$$ Sắp xếp lại: $$xy-2x-4y=0$$ 2. **Tìm nghiệm nguyên**: Cách tiếp theo là biến đổi phương trình này: $$y(x-4)=2x$$ Từ đó, ta có: $$y=\frac{2x}{x-4}$$ 3. **Xét điều kiện để $y$ là số nguyên**: Để $y$ là số nguyên, $x-4$ phải là 1 số chia hết cho 2. Do đó, ta cần $x-4$ chia hết cho 2, hay $x$ phải có cùng tính chẵn/lẻ với 4. **Giả sử $x-4=d$** (với $d$ là các số nguyên), thì ta có: $$x=d+4$$ Thay vào phương trình cho $y$: $$y=\frac{2(d+4)}{d}=2+\frac{8}{d}$$ Để $y$ là số nguyên, $d$ phải là 1 trong các ước số của 8. Các ước số của 8 là: $\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8$. 4. **Tính toán các nghiệm**: - Nếu $d=1$: $$x=5,y=10$$ - Nếu $d=2$: $$x=6,y=6$$ - Nếu $d=4$: $$x=8,y=4$$ - Nếu $d=8$: $$x=12,y=2$$ - Nếu $d=-1$: $$x=3,y=-6$$ - Nếu $d=-2$: $$x=2,y=-4$$ - Nếu $d=-4$: $$x=0\left(\text{loại, không hợp lệ}\right)$$ - Nếu $d=-8$: $$x=-4,y=-4$$ ### Tóm tắt nghiệm: Các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình là: - $(5,10)$ - $(6,6)$ - $(8,4)$ - $(12,2)$ - $(3,-6)$ - $(2,-4)$ - $(-4,-4)$  

Để giải phương trình $\frac{4}{x}+\frac{2}{y}=1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. **Đưa phương trình về dạng dễ giải**: $$\frac{4}{x}+\frac{2}{y}=1$$ Nhân cả hai vế với $xy$ (giả sử \(x eq 0\) và \(y eq 0\)): $$4y+2x=xy$$ Hay có thể viết lại thành: $$xy-4y-2x=0$$ Sắp xếp lại: $$xy-2x-4y=0$$ 2. **Tìm nghiệm nguyên**: Cách tiếp theo là biến đổi phương trình này: $$y(x-4)=2x$$ Từ đó, ta có: $$y=\frac{2x}{x-4}$$ 3. **Xét điều kiện để $y$ là số nguyên**: Để $y$ là số nguyên, $x-4$ phải là 1 số chia hết cho 2. Do đó, ta cần $x-4$ chia hết cho 2, hay $x$ phải có cùng tính chẵn/lẻ với 4. **Giả sử $x-4=d$** (với $d$ là các số nguyên), thì ta có: $$x=d+4$$ Thay vào phương trình cho $y$: $$y=\frac{2(d+4)}{d}=2+\frac{8}{d}$$ Để $y$ là số nguyên, $d$ phải là 1 trong các ước số của 8. Các ước số của 8 là: $\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8$. 4. **Tính toán các nghiệm**: - Nếu $d=1$: $$x=5,y=10$$ - Nếu $d=2$: $$x=6,y=6$$ - Nếu $d=4$: $$x=8,y=4$$ - Nếu $d=8$: $$x=12,y=2$$ - Nếu $d=-1$: $$x=3,y=-6$$ - Nếu $d=-2$: $$x=2,y=-4$$ - Nếu $d=-4$: $$x=0\left(\text{loại, không hợp lệ}\right)$$ - Nếu $d=-8$: $$x=-4,y=-4$$ ### Tóm tắt nghiệm: Các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình là: - $(5,10)$ - $(6,6)$ - $(8,4)$ - $(12,2)$ - $(3,-6)$ - $(2,-4)$ - $(-4,-4)$  

MMLXXIX

Để giải biểu thức bậc hai 8x2+10x−38x2+10x−3, bạn có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

x=−b±b2−4ac−−−−−−−√2ax=−b±b2−4ac2a

Trong đó: - a=8a=8, - b=10b=10, - c=−3c=−3. ### Bước 1: Tính Delta (ΔΔ)

Δ=b2−4ac=102−4⋅8⋅(−3)=100+96=196Δ=b2−4ac=102−4⋅8⋅(−3)=100+96=196

### Bước 2: Tính nghiệm Vì Δ>0Δ>0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

x=−10±196−−−√2⋅8x=−10±1962⋅8

Tính 196−−−√196:

196−−−√=14196=14

Tính nghiệm:

x1=−10+1416=416=14x1=−10+1416=416=14 x2=−10−1416=−2416=−32x2=−10−1416=−2416=−32

### Kết luận Phương trình bậc hai 8x2+10x−3=08x2+10x−3=0 có hai nghiệm:

x1=14vàx2=−32

Để xác định vị trí của các điểm A(1;1), B(1;2), C(-√2;-√2) với đường tròn (O;2)(O;2), ta sẽ xem xét bán kính của đường tròn và khoảng cách từ từng điểm đến tọa độ tâm của đường tròn. ### Tâm đường tròn Đường tròn (O;2)(O;2) có tâm tại điểm O(0;0)O(0;0) và bán kính R=2R=2. ### Công thức tính khoảng cách Khoảng cách từ một điểm P(x;y)P(x;y) đến tâm O(0;0)O(0;0) được tính bằng công thức:

d=x2+y2−−−−−−√d=x2+y2

### Tính khoảng cách cho từng điểm 1. **Điểm A(1; 1)**

dA=12+12−−−−−−√=2–√≈1.41dA=12+12=2≈1.41

- Khoảng cách dA<RdA<R: Điểm A nằm bên trong đường tròn. 2. **Điểm B(1; 2)**

dB=12+22−−−−−−√=1+4−−−−√=5–√≈2.24dB=12+22=1+4=5≈2.24

- Khoảng cách dB>RdB>R: Điểm B nằm bên ngoài đường tròn. 3. **Điểm C(-√2; -√2)**

dC=(−2–√)2+(−2–√)2−−−−−−−−−−−−−−√=2+2−−−−√=4–√=2dC=(−2)2+(−2)2=2+2=4=2

- Khoảng cách dC=RdC=R: Điểm C nằm trên đường tròn. ### Kết luận - Điểm A(1; 1): Nằm **bên trong** đường tròn. - Điểm B(1; 2): Nằm **bên ngoài** đường tròn. - Điểm C(-√2; -√2): Nằm **trên** đường tròn.