Vì E là điểm chính giữa của AC nên AE = EC = \(\dfrac{1}{2}\)AC.

Nối I với C, ta có:
\(S_{ABE}=S_{BEC}\)(Vì 2 tam giác có chung đường cao hạ từ B xuống AC, đáy AE = EC).

\(S_{IAE}=S_{IEC}\)(Vì 2 tam giác có chung đường cao hạ từ I xuống AC, đáy AE = EC)

Suy ra \(S_{IBA}=S_{IBC}\).

Vì D là điểm chính giữa của BC nên BD = DC = \(\dfrac{1}{2}\)BC.

\(S_{IBD}=\dfrac{1}{2}S_{IBC}\)(Vì 2 tam giác có chung đường cao hạ từ I xuống BC, đáy BD = \(\dfrac{1}{2}\)BC).

\(S_{ABD}=S_{ADC}\)(Vì 2 tam giác có chung đường cao hạ từ A xuống BC, đáy BD = DC).

Suy ra ​​​\(S_{ABI}=S_{BIC}=S_{AIC}\).​

\(S_{IAE}=\dfrac{1}{2}S_{AIC}\)(Vì 2 tam giác có chung đường cao hạ từ I xuống AC, đáy AE = \(\dfrac{1}{2}\)AC).

Mà ​​\(S_{BIC}=S_{AIC}\) suy ra ​​​\(S_{IAE}=\dfrac{1}{2}S_{BIC}\).​

Suy ra \(S_{IAE}=S_{IBD}\).

Ta có: S = \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{3.7}+\dfrac{5}{3.7.11}+...+\dfrac{2n+1}{3.7.11...\left(4n+3\right)}\)

⇒ 2S = \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3.7}+\dfrac{10}{3.7.11}+...+\dfrac{4n+2}{3.7.11...\left(4n+3\right)}\)

⇒ 2S + \(\dfrac{1}{3.7.11...\left(4n+3\right)}\) = \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3.7}+\dfrac{10}{3.7.11}+...+\dfrac{4n+3}{3.7.11...\left(4n+3\right)}\)

Đến đây nó sẽ rút gọn liên tục và sau nhiều lần rút gọn ta có:

2S + \(\dfrac{1}{3.7.11...\left(4n+3\right)}\) = \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3.7}+\dfrac{10}{3.7.11}+\dfrac{1}{3.7.11}\) = \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3.7}+\dfrac{11}{3.7.11}\) = \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3.7}+\dfrac{1}{3.7}\) = \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{3.7}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1\)

Suy ra 2S < 1 ⇒ S < \(\dfrac{1}{2}\)(đpcm)