+, Với: b < 45 thì $\left|b-45\right|=45-b$

Ta có: $45-b+b-45=2^a+37$

$\Rightarrow 0=2^a+37$ vô lý vì $2^a+37\ge 38\forall a\in N$

+, Với: b > 45 thì $\left|b-45\right|=b-45$

Ta có: $b-45+b-45=2^a+37$

$\Rightarrow 2b-90=2^a+37$

$\Rightarrow 2b=2^a+37+90$

$\Rightarrow 2b=2^a+127$

Do 2b luôn chẵn $\forall b\in N$; 127 là số lẻ nên 2a là số lẻ

$\Rightarrow 2^a=1\Rightarrow a=0$

Lúc này, $2b=1+127=128$

$\Rightarrow b=128:2=64$

Vậy: $a=0;b=64$

+, Với: b < 45 thì $\left|b-45\right|=45-b$

Ta có: $45-b+b-45=2^a+37$

$\Rightarrow 0=2^a+37$ vô lý vì $2^a+37\ge 38\forall a\in N$

+, Với: b > 45 thì $\left|b-45\right|=b-45$

Ta có: $b-45+b-45=2^a+37$

$\Rightarrow 2b-90=2^a+37$

$\Rightarrow 2b=2^a+37+90$

$\Rightarrow 2b=2^a+127$

Do 2b luôn chẵn $\forall b\in N$; 127 là số lẻ nên 2a là số lẻ

$\Rightarrow 2^a=1\Rightarrow a=0$

Lúc này, $2b=1+127=128$

$\Rightarrow b=128:2=64$

Vậy: $a=0;b=64$