Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 → p không chia hết cho 3 →  p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2.

Với p = 3k + 1

→ (p - 1)(p + 1) = 3k(3k + 2) ⋮ 3

Với p = 3k + 2

→ (p - 1)(p + 1) = 3(3k - 1)(k + 1) ⋮ 3

⇒ (p - 1)(p + 1) luôn chia hết cho 3 (1)

Mà p là số nguyên tố → p là số lẻ → (p - 1)(p + 1) là tích hai số chẵn liên tiếp.

⇒ (p - 1)(p + 1) chia hết cho 8 (2)

Mà (3, 8) = 1 (3)

Từ (1), (2) và (3) → (p - 1)(p + 1) ⋮ 24

Tương tự CM: (q - 1)(q + 1) ⋮ 24

⇔ (p - 1)(p + 1) - (q - 1)(q + 1) ⋮ 24

⇔ p² - 1 - q² + 1 ⋮ 24

⇔ p² - q² ⋮ 24 (đpcm)