a. Tính góc ADB và góc BDC: Gọi góc ADB = x, góc BDC = y. Ta có thể sử dụng các quy tắc góc chắn cung và góc nội tiếp để tính góc như sau:

• Góc BAC = 90 độ (do tam giác ABC vuông tại A)
• Góc B = 60 độ (theo đề bài)
• Góc ABC = 180 - Góc BAC - Góc B = 30 độ (tổng các góc của tam giác ABC bằng 180 độ)
• Góc ABD = Góc ABC (do AB // CD theo định lý Thales)
• Góc DAB = 180 - Góc ADB - Góc ABD = 180 - x - 30
• Góc BCD = Góc BAC (do CD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDC)
• Góc BDC = 180 - Góc BCD - Góc B = 90 - Góc BAC/2 = 45 độ (do tam giác BCD cân tại B)

b. So sánh các cạnh của tam giác ABD: Để so sánh các cạnh của tam giác ABD, ta cần tính độ dài các cạnh. Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:

• AB^2 = AC^2 + BC^2 = a^2 + b^2
• BC = a
• AC = b Vậy AB = sqrt(a^2 + b^2). Tương tự, ta có CD = b và BD = c*sqrt(3)/2 (tính theo phương pháp trong câu trả lời trước). Do đó, ta có thể so sánh các cạnh của tam giác ABD theo thứ tự tăng dần: CD < AB < BD.

c. So sánh các góc của tam giác BDC: Trong tam giác BDC, ta đã tính được góc BDC = 45 độ (như ở câu a). Do tam giác BDC cân tại B, nên góc CBD cũng bằng 45 độ. Vì vậy, hai góc của tam giác BDC bằng nhau và bằng 45 độ.

a. Tính góc ADB và góc BDC: Gọi góc ADB = x, góc BDC = y. Ta có thể sử dụng các quy tắc góc chắn cung và góc nội tiếp để tính góc như sau:

• Góc BAC = 90 độ (do tam giác ABC vuông tại A)
• Góc B = 60 độ (theo đề bài)
• Góc ABC = 180 - Góc BAC - Góc B = 30 độ (tổng các góc của tam giác ABC bằng 180 độ)
• Góc ABD = Góc ABC (do AB // CD theo định lý Thales)
• Góc DAB = 180 - Góc ADB - Góc ABD = 180 - x - 30
• Góc BCD = Góc BAC (do CD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDC)
• Góc BDC = 180 - Góc BCD - Góc B = 90 - Góc BAC/2 = 45 độ (do tam giác BCD cân tại B)

b. So sánh các cạnh của tam giác ABD: Để so sánh các cạnh của tam giác ABD, ta cần tính độ dài các cạnh. Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:

• AB^2 = AC^2 + BC^2 = a^2 + b^2
• BC = a
• AC = b Vậy AB = sqrt(a^2 + b^2). Tương tự, ta có CD = b và BD = c*sqrt(3)/2 (tính theo phương pháp trong câu trả lời trước). Do đó, ta có thể so sánh các cạnh của tam giác ABD theo thứ tự tăng dần: CD < AB < BD.

c. So sánh các góc của tam giác BDC: Trong tam giác BDC, ta đã tính được góc BDC = 45 độ (như ở câu a). Do tam giác BDC cân tại B, nên góc CBD cũng bằng 45 độ. Vì vậy, hai góc của tam giác BDC bằng nhau và bằng 45 độ.

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng định lý dư dấu của Trung tâm Đa dạng (Chinese Remainder Theorem).

Gọi số tự nhiên cần tìm là x. Theo yêu cầu đề bài, ta có hệ phương trình tương đương sau:

x ≡ 2 (mod 3) x ≡ 3 (mod 5) x ≡ 2 (mod 7)

Theo định lý dư dấu, hệ phương trình này có nghiệm duy nhất modulo 3x5x7 = 105.

Để tìm nghiệm của hệ phương trình, ta có thể áp dụng thuật toán quy hoạch động (Dynamic Programming) như sau:

• Đặt i = 2, và x = 2. Ta kiểm tra xem x có thỏa mãn điều kiện thứ hai (x ≡ 3 (mod 5)) không. Nếu không, ta tăng giá trị x lên 105 (vì 105 chia hết cho cả 3, 5 và 7), và quay lại bước kiểm tra. Nếu x thỏa mãn điều kiện thứ hai, ta tiếp tục đến bước tiếp theo.
• Đặt i = 3, và x = 2. Ta kiểm tra xem x có thỏa mãn điều kiện thứ ba (x ≡ 2 (mod 7)) không. Nếu không, ta tăng giá trị x lên 105, và quay lại bước kiểm tra. Nếu x thỏa mãn điều kiện thứ ba, ta đã tìm được nghiệm của hệ phương trình.

Do đó, số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 2 + 3x3x7 = 65. Vì vậy, khi chia 3 dư 2, chia 5 dư 3 và chia 7 dư 2, số tự nhiên nhỏ nhất là 65.

Để tính độ dài quãng đường AB, ta cần biết thời gian mà ô tô đi từ A đến B. Thời gian này có thể tính được bằng cách lấy thời gian đến B trừ đi thời gian xuất phát từ A.

Thời gian xuất phát từ A là 7 giờ 30 phút, thời gian đến B là 12 giờ 15 phút, nghĩa là thời gian đi từ A đến B là:

12 giờ 15 phút - 7 giờ 30 phút = 4 giờ 45 phút = 4.75 giờ

Vận tốc của ô tô là 46km/giờ, vì vậy ta có thể sử dụng công thức sau để tính quãng đường AB:

Quãng đường = Vận tốc × Thời gian

Thời gian đi từ A đến B là 4.75 giờ, vì vậy quãng đường AB = 46km/giờ × 4.75 giờ = 218.5km (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Do đó, độ dài quãng đường AB là khoảng 218.5km.

Để tính độ dài quãng đường AB, ta cần biết thời gian mà ô tô đi từ A đến B. Vì ô tô đi từ A lúc 7 giờ 30 phút và đến B cũng lúc 7 giờ 30 phút, nghĩa là thời gian đi là 0 giờ.

Vận tốc của ô tô là 46km/giờ, vì vậy ta có thể sử dụng công thức sau để tính quãng đường AB:

Quãng đường = Vận tốc × Thời gian

Thời gian đi từ A đến B là 0 giờ, vì vậy quãng đường AB = 46km/giờ × 0 giờ = 0km.

Do đó, độ dài quãng đường AB là 0km.