Cách 1: Từ bài toán, ta phân tích hình ảnh như sau:

Ta có:

Số vòng mà đường tròn a "lăn" được trên đường tròn b cũng chính là số lần mà tâm A di chuyển được trên đường tròn d (1 lần di chuyển của tâm A trên đường tròn d bằng độ dài đường tròn a).

Mà khoảng cách giữa A và B là tổng bán kính đường tròn a với bán kính đường tròn b (tổng gấp 4 lần bán kính đường tròn a) nên chu vi đường tròn d gấp 4 lần chu vi đường tròn a hay tâm A cần di chuyển 4 lần trên đường tròn d để về lại vị trí cũ.

Mặt khác: đường tròn a cần phải "lăn" 4 lần trên đường tròn b để về lại vị trí cũ.

Vậy đường tròn (A) trên bài toán cần phải "lăn" 4 vòng trên đường tròn (B) để về lại vị trí cũ.

Cách 2: Vì đường kính đường tròn (B) gấp 3 lần đường kính đường tròn (A) nên chu vi đường tròn (B) cũng gấp 3 lần chu vi đường tròn (A).

Ta chia đường tròn (B) thành 3 phần như sau (mỗi phần bằng chu vi đường tròn (A).):

Từ C tới G, khi đường tròn a quay 1 vòng (\(360^o\) theo chiều kim đồng hồ) thì tới điểm H. Từ H, đường tròn a phải quay thêm \(120^o\) (theo chiều kim đồng hồ) nữa mới tới điểm G nên từ C tới G đường tròn a cần quay: \(360^o+120^o=480^o\)

\(\Rightarrow\)Số vòng mà đường tròn a cần quay để về lại vị trí cũ là: \(\dfrac{\left(360\cdot3\right)+\left(120\cdot3\right)}{360}=4\left(vòng\right)\)

Vậy đường tròn (A) trên bài toán cần "lăn" 4 vòng trên đường tròn (B) để về vị trí cũ.