Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
🔺Đề kiểm tra cuối năm số 1 - bộ Kết nối tri thức (phần tự luận) SVIP
Câu 1. (1 điểm)
Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}-3x+3}=2x-1$.
Hướng dẫn giải:
$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+3}=2x-1$
Bình phương hai vế của phương trình ta có $x^2-3x+3=\left( 2x-1 \right)^2$
$\Leftrightarrow 3x^2-x-2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=1 \\ & x=\dfrac{-2}{3} \\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow x=1$.
Thay $x=1$ vào phương trình đã cho ta có $\sqrt{1^2 - 3.1+3} = 1 = 2.1-1$.
Vậy phương trình có nghiệm $x=1$.
Câu 2. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A\left( 3;5 \right)$ và đường thẳng $\Delta : \, 2x-y+3=0$.
a) Viết phương trình đường tròn tâm $A$, tiếp xúc với $\Delta $.
b) Tìm tọa độ của điểm ${A}'$ đối xứng với $A$ qua $\Delta $.
c) Viết phương trình đường thẳng ${\Delta }'$ đi qua $A$ sao cho góc giữa hai đường thẳng $\Delta $ và ${\Delta }'$ bằng $60^{\circ}$.
Hướng dẫn giải:
a) Bán kính đường tròn là khoảng cách từ $A$ đến $\Delta $: $R=d\left( A,\Delta \right)=\dfrac{4}{\sqrt{5}}$.
Phương trình đường tròn ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=\dfrac{16}{5}$.
b) Phương trình đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $\Delta $ là $\left( x-3 \right)+2\left( y-5 \right)=0\Leftrightarrow x+2y-13=0$.
Tọa độ trung điểm $I$ của $A{A}'$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & 2x-y+3=0 \\ & x+2y-13=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{7}{5} \\ & y=\dfrac{29}{5} \\ \end{aligned} \right.$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{{{A}'}}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{A}} \\ & {{y}_{{{A}'}}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{A}} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{{{A}'}}}=-\dfrac{1}{5} \\ & {{y}_{{{A}'}}}=\dfrac{33}{5} \\ \end{aligned} \right.$.
Vậy $A'\left( -\dfrac{1}{5};\dfrac{33}{5} \right).$
c) Phương trình đường thẳng có dạng ${\Delta }': \, ax+by-3a-5b=0$.
Theo đề ta có $\cos 60^{\circ} =\dfrac{\left| 2a-b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.\sqrt{5}}\Leftrightarrow 2\left| 2a-b \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.\sqrt{5}\Leftrightarrow 11{{a}^{2}}-16ab-{{b}^{2}}=0$.
Chọn $b=1$ suy ra $\left[ \begin{aligned} & a=\dfrac{8+5\sqrt{3}}{11} \\ & a=\dfrac{8-5\sqrt{3}}{11} \\ \end{aligned} \right.$
Do đó phương trình đường thẳng cần tìm là ${\Delta }': \, \dfrac{8+5\sqrt{3}}{11}x+y-\dfrac{79+15\sqrt{3}}{11}=0$ hoặc ${\Delta }': \, \dfrac{8-5\sqrt{3}}{11}x+y-\dfrac{79-15\sqrt{3}}{11}=0.$
Câu 3. (1 điểm)
Một nhóm học sinh gồm $6$ nam và $9$ nữ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời $5$ học sinh để thành lập đội văn nghệ. Tính xác suất sao cho trong $5$ học sinh được chọn có ít nhất $4$ học sinh nữ.
Hướng dẫn giải:
Gọi $A$ là biến cố "Trong $5$ học sinh được chọn có ít nhất $4$ học sinh nữ".
Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn $5$ học sinh tuỳ ý trong $15$ học sinh $n\left( \Omega \right)=C_{15}^{5}=3003$ cách chọn.
Để tìm số phần tử của biến cố $A$ ta xét 2 trường hợp sau.
Trường hợp 1: Chọn $4$ học sinh nữ và $1$ học sinh nam có $C_{9}^{4}.C_{6}^{1}=756$ cách chọn.
Trường hợp 2: Chọn $5$ học sinh nữ có $C_{9}^{5}=126$ cách chọn.
Nên $n\left( A \right)=756+126=882$ cách chọn.
Do đó xác suất của biến cố $A$ là \$P\left( A \right)=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{882}{3003}=\dfrac{42}{143}$.
Vậy xác suất sao cho trong $5$ học sinh được chọn có ít nhất $4$ học sinh nữ là $P\left( A \right)=\dfrac{42}{143}$.
Câu 4. (1 điểm)
Từ các chữ số $0; \, 1; \, 2; \, 3; \, 5; \, 8$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một phân biện và trong đó phải có mặt chữ số $3$?
Hướng dẫn giải:
Gọi số cần lập có dạng $\overline{abcd}$.
Trường hợp 1. Số $3$ nằm ở vị trí $a$ thì có $1$ cách chọn.
Khi đó $b, \, c$ và $d$ chọn từ $5$ chữ số còn lại có $A_{5}^{3}$ cách.
Theo quy tắc nhân, trường hợp này có $A_{5}^{3}$ số.
Trường hợp 2. Số $3$ nằm ở vị trí $b$ thì có $1$ cách chọn.
Vị trí $a$ chọn từ các chữ số $1, \, 2, \, 5, \, 8 có $4$ cách.
Vị trí $b$ có $4$ cách chọn.
Vị trí $c$ có $3$ cách chọn.
Theo quy tắc nhân, trường hợp này có $4.4.3=48$ số.
Trường hợp 3 và 4. Số $3$ nằm lần lượt ở $c$ và $d$ tương tự trường hợp 2.
Vậy ta có tất cả: $A_{5}^{3}+48.3=204$ số thỏa mãn yêu cầu.