Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
Bài tập tự luận chứng minh các quan hệ vuông góc SVIP
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $BC\perp (SAM)$.
Hướng dẫn giải:
Vì $SA \perp ( ABC)$ $\Rightarrow BC\perp SA$.
Theo giải thiết tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$ và $M$ là trung điểm $BC$ $\Rightarrow BC\perp AM$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned} & BC \perp SA \\ & BC \perp AM \\ \end{aligned} \right.$ $\Rightarrow $ $BC \perp (SAM)$.
Cho tứ diện $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $ (ABC)$. Gọi $AH$ là đường cao của tam giác $SBA$. Chứng minh $AH \perp SC.$
Hướng dẫn giải:
Ta có: $SA\perp ( ABC)$ $\Rightarrow SA\perp BC$;
$BC\perp AB$;
Mà $SA \cap AB = \{A\}$ và $SA, AB \subset (SAB)$
$\Rightarrow BC \perp (SAB)$ $\Rightarrow BC\perp AH$.
Mà $AH\perp SB$, $BC \cap SB = \{B\}$ và $BC, SB \subset (SBC)$
$\Rightarrow AH\perp ( SBC)$ $\Rightarrow AH\perp SC$ .
Cho tứ diện $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $SA \perp (ABC)$. Chứng minh tứ diện $S.ABC$ có tất cả các mặt là tam giác vuông?
Hướng dẫn giải:
$AB\perp BC\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác vuông tại $B.$
Ta có $SA\perp (ABC)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & SA\perp AB \\ & SA\perp AC \\ \end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \Delta SAB$, $\Delta SAC$ là các tam giác vuông tại $A.$
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned} & AB\perp BC \\ & SA\perp BC \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow BC\perp SB$
$\Rightarrow \Delta SBC$ là tam giác vuông tại $B.$
Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$. Đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Gọi $H$, $I$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$, $SC$, $SD$.
a. Chứng minh $BC \perp (SAB)$.
b. Chứng minh $AH$, $AI$, $AK$ cùng thuộc một mặt phẳng.
c. Chứng minh $HK \perp AI$.
Hướng dẫn giải:
a. Ta có $BC \perp AB$ do $ABCD$ là hình vuông.
$SA \perp (ABCD) \Rightarrow BC \perp SA.$
$\Rightarrow BC \perp (SAB).$
b. Ta có $AH \perp BC$ do $BC \perp (SAB)$ và $AH \perp SB \Rightarrow AH \perp (SBC) \Rightarrow AH \perp SC$ (1).
Ta có $CD \perp (SAD)\Rightarrow CD \perp AK.$
Mà $SD\perp AK \Rightarrow AK \perp (SCD) \Rightarrow AK \perp SC$ (2).
Lại có $AI \perp SC$ (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra $AH$, $AI$, $AK$ cùng nằm trên mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SC$.
c. Ta có $\Delta SAB = \Delta SAD$ (c.g.c) $\Rightarrow SB = SD$ và $AH = AK$.
Vậy $\Delta SHA = \Delta SAK \Rightarrow SH = SK.$
Do đó $\dfrac{SH}{SB} = \dfrac{SK}{SD} \Rightarrow HK//BD$.
Mà $BD \perp (SAC) \Rightarrow HK \perp (SAC)\Rightarrow HK \perp AI.$
Cho hình chóp $S.ABC$ có hai mặt bên $(SAB)$ và $(SAC)$ vuông góc với đáy $(ABC)$, tam giác $ABC$ vuông cân ở $A$ và có đường cao $AH$ với $H\in BC$. Chứng minh $(SAH) \perp (SBC)$.
Hướng dẫn giải:
Do $(SAB)$ và $(SAC)$ vuông góc với đáy $(ABC)$
Và $(SAB) \cap (SAC) = SA$ nên $SA \perp (ABC)$.
$BC \perp AH$, $BC\perp SA$
$\Rightarrow BC\perp \left( SAH \right)$;
Mà $BC\subset \left( SBC \right)$ nên $\left( SAH \right)\perp (SBC)$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông, tam giác $SAD$ đều, $(SAD) \perp (ABCD)$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $BC$, $CD$. Chứng minh $AM \perp BP.$
Hướng dẫn giải:
Xét hai tam giác vuông $ABN$ và $BCP$ có: $AB = BC,$ $BN = CP.$
$\Rightarrow \Delta ABN = \Delta BCP$.
$\Rightarrow \widehat{BAN} = \widehat{CBP},$ $\widehat{ANB} = \widehat{BPC}$.
Mà $\widehat{BAN} + \widehat{ANB} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{CBP} + \widehat{ANB} = 90^{\circ}$ hay $AN \perp BP$ (1).
Vì $\Delta SAD$ đều nên $\left\{ \begin{aligned} & SH\perp AD \\ & (SAD)\perp (ABCD) \\ & BP \subset (ABCD) \\ \end{aligned} \right. \Rightarrow SH \perp BP $.
Mặt khác, $ABNH$ là hình chữ nhật nên $K$ là trung điểm của $HB$ hay $MK // SH$.
$\Rightarrow BP \perp MK$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $BP \perp (AMN) \Rightarrow BP \perp AM.$