phim (séc) đánh đít bằng chuối :)

là bộ phận

vì châu Á đẻ nhiều con như nhật bản(nhật bản :)

• Bước 1: Nhìn vế phải (số bên kia dấu bằng)
• • Nếu là số âm (ví dụ:…=−5) → Kết luận ngay: Vô nghiệm (Sai quá sai, không làm nữa!).
  • Nếu là số dương → Chuyển sang Bước 2. 
• Bước 2: Xé bài toán thành 2 nửa (2 trường hợp)
• • Nửa 1: Giữ nguyên mọi thứ, chỉ xóa bỏ hai dấu sổ thẳng.
  • Nửa 2: Xóa dấu sổ thẳng, nhưng số bên vế phải phải đổi dấu (thành số âm). 
• Bước 3: Giải tìm x như bình thường. 

✍️ Ví dụ cho dễ nuốt: Tìm x biết|𝑥−2|=3

• Trường hợp 1:𝑥−2=3⇒𝑥=3+2=5
• Trường hợp 2:𝑥−2=−3⇒𝑥=−3+2=−1
• Đáp số: x = 5 hoặc x = -1.

 

• Bước 1: Tìm xem thằng nào có số mũ nhỏ hơn.
• • Ví dụ giữa3x+23 raised to the x plus 2 power3𝑥+2 và3x3 to the x-th power3𝑥, thì3x3 to the x-th power3𝑥 nhỏ hơn. 
• Bước 2: Tách thằng lớn theo thằng nhỏ bằng phép nhân (⋅)
• • Tách:3𝑥+2=3𝑥⋅32 (Vì số mũ cộng nhau: x + 2). 
• Bước 3: Đặt thằng nhỏ ra ngoài làm "đại ca", bên trong ngoặc là những gì còn sót lại. 

✍️ Ví dụ cho dễ nuốt: Tìm x biết3𝑥+2−3𝑥=216

• Bước 1 + 2 (Tách):3𝑥⋅32−3𝑥=216
• Bước 3 (Nhốt vào ngoặc):3𝑥⋅(32−1)=216 (Lưu ý: rút3x3 to the x-th power3𝑥 đi thì chỗ đó còn lại số 1).
• Tính toán:3𝑥⋅(9−1)=216⇒3𝑥⋅8=216
• Chia số:3𝑥=216∶8=27
• Nhẩm nghiệm: Mấy số 3 nhân nhau bằng 27? Đó là 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3³. Vậy x = 3.

 

• Mẹo 1: Biết 2 góc, tìm góc thứ 3.
• • Lấy 180° trừ đi tổng của 2 góc đã biết. 
• Mẹo 2: Tam giác cân (có 2 cạnh bằng nhau hoặc 2 góc đáy bằng nhau).
• • Nếu biết góc ở đỉnh → Góc đáy = (180° - Góc đỉnh) : 2
  • Nếu biết 1 góc ở đáy → Góc ở đỉnh = 180° - (2 ⋅ Góc đáy) 

✍️ Ví dụ cho dễ nuốt: Cho tam giác ABC cân tại A, biết góc A = 70°. Tính góc B?

• Vì tam giác cân tại A nên hai góc ở đáy là B và C bằng nhau.
• Áp dụng công thức:∠𝐵=(180∘−70∘)∶2=110∘∶2=55∘.

 

• Bước 1: Tính hiệu 2 cạnh đã biết (Lấy số lớn trừ số nhỏ).
• Bước 2: Tính tổng 2 cạnh đã biết (Lấy 2 số cộng lại).
• Bước 3: Viết dấu mũi tên kẹp cạnh thứ ba vào giữa: Hiệu < Cạnh thứ 3 < Tổng. 

✍️ Ví dụ cho dễ nuốt: Một tam giác có hai cạnh dài 3 cm và 7 cm. Cạnh thứ ba là một số nguyên. Hỏi cạnh đó dài bao nhiêu?

• Hiệu: 7 - 3 = 4 cm
• Tổng: 7 + 3 = 10 cm
• Kẹp vào giữa: 4 < Cạnh thứ 3 < 10
• Kết luận: Cạnh thứ ba có thể là các số nguyên: 5, 6, 7, 8, 9.

 

• |𝐴|=𝐴 nếu𝐴≥0
• |𝐴|=−𝐴 nếu𝐴<0

• Bước 1: Kiểm tra sốkk𝑘.
• • Nếu𝑘<0: Phương trình vô nghiệm (vì trị tuyệt đối không thể âm).
  • Nếu𝑘=0: Cho𝐴(𝑥)=0 để tìmxx𝑥.
  • Nếu𝑘>0: Chia làm 2 trường hợp để giải.
• Bước 2: Chia 2 trường hợp:
• • Trường hợp 1:𝐴(𝑥)=𝑘
  • Trường hợp 2:𝐴(𝑥)=−𝑘
• Ví dụ: Tìmxx𝑥 biết|𝑥−3|=5
• • Trường hợp 1:𝑥−3=5⇒𝑥=5+3⇒𝑥=8
  • Trường hợp 2:𝑥−3=−5⇒𝑥=−5+3⇒𝑥=−2
  • Kết luận:𝑥=8 hoặc𝑥=−2.

• Bước 1: Tìm điều kiện để vế phải không âm:𝐵(𝑥)≥0 (để phương trình có nghiệm).
• Bước 2: Chia làm 2 trường hợp giải tương tự dạng 1:𝐴(𝑥)=𝐵(𝑥) hoặc𝐴(𝑥)=−𝐵(𝑥).
• Bước 3: Đối chiếu kết quảxx𝑥 tìm được với điều kiện ở Bước 1.

1. Nhận hai lũy thừa cùng cơ số:𝑎𝑚⋅𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛 (Giữ cơ số, cộng số mũ)
2. Chia hai lũy thừa cùng cơ số:𝑎𝑚∶𝑎𝑛=𝑎𝑚−𝑛 (Giữ cơ số, trừ số mũ)
3. Lũy thừa của lũy thừa:(𝑎𝑚)𝑛=𝑎𝑚⋅𝑛 (Giữ cơ số, nhân số mũ)
4. Lũy thừa của một tích:(𝑎⋅𝑏)𝑛=𝑎𝑛⋅𝑏𝑛
5. Quy ước:𝑎0=1 (với𝑎≠0) và𝑎1=𝑎.

• Ví dụ: Tìmxx𝑥 biết2𝑥+3+2𝑥+1=320
• • Bước 1 (Tách): Ta thấy số mũ(𝑥+1) nhỏ hơn(𝑥+3). Ta tách2𝑥+3=2𝑥+1⋅22.
  • Bước 2 (Đặt nhân tử chung):
    2x+1⋅22+2x+1⋅1=3202 raised to the x plus 1 power center dot 2 squared plus 2 raised to the x plus 1 power center dot 1 equals 3202𝑥+1⋅22+2𝑥+1⋅1=320
    2x+1⋅(22+1)=3202 raised to the x plus 1 power center dot open paren 2 squared plus 1 close paren equals 3202𝑥+1⋅(22+1)=320
  • Bước 3 (Tính toán phần số):
    2x+1⋅(4+1)=320⇒2x+1⋅5=3202 raised to the x plus 1 power center dot open paren 4 plus 1 close paren equals 320 implies 2 raised to the x plus 1 power center dot 5 equals 3202𝑥+1⋅(4+1)=320⇒2𝑥+1⋅5=320
    2x+1=320∶5=642 raised to the x plus 1 power equals 320 colon 5 equals 642𝑥+1=320∶5=64
  • Bước 4 (Đưa về cùng cơ số): Ta biết64=26. Do đó:
    2x+1=26⇒x+1=6⇒x=52 raised to the x plus 1 power equals 2 to the sixth power implies x plus 1 equals 6 implies x equals 52𝑥+1=26⇒𝑥+1=6⇒𝑥=5

• Trong mọi△𝐴𝐵𝐶, ta luôn có:∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180∘.
• Mẹo tính góc tạo bởi hai tia phân giác: NếuIcap I𝐼 là giao điểm hai tia phân giác của∠𝐵 và∠𝐶, ta luôn có công thức nhanh:
  ∠BIC=90∘+∠A2angle cap B cap I cap C equals 90 raised to the composed with power plus the fraction with numerator angle cap A and denominator 2 end-fraction∠𝐵𝐼𝐶=90∘+∠𝐴2

• Tam giác cân (có 2 cạnh bằng nhau): Suy ra 2 góc ở đáy bằng nhau.
• • Nếu biết góc ở đỉnhAcap A𝐴, tính góc ở đáy:∠𝐵=∠𝐶=180∘−∠𝐴2.
  • Nếu biết góc ở đáyBcap B𝐵, tính góc ở đỉnh:∠𝐴=180∘−2⋅∠𝐵.
• Tam giác đều (có 3 cạnh bằng nhau): Suy ra 3 góc bằng nhau và đều bằng60∘60 raised to the composed with power60∘.

• Tổng độ dài 2 cạnh bất kỳ luôn lớn hơn cạnh còn lại:𝑎+𝑏>𝑐 ;𝑎+𝑐>𝑏 ;𝑏+𝑐>𝑎.
• Hiệu độ dài 2 cạnh bất kỳ luôn nhỏ hơn cạnh còn lại:|𝑎−𝑏|<𝑐.

• Ví dụ thực tế: Một tam giác có hai cạnh bằng4cm và9cm. Tìm độ dài cạnh thứ ba biết nó là một số nguyên.
• • Bước 1 (Áp dụng công thức):9−4<𝑥<9+4⇒5<𝑥<13.
  • Bước 2 (Liệt kê số nguyên): Vìxx𝑥 là số nguyên nênxx𝑥 có thể là:6,7,8,9,10,11,12.
  • Bước 3 (Lọc theo điều kiện phụ): Nếu đề bài bảo cạnh này là "số nguyên tố", bạn chỉ việc chọn ra các số nguyên tố trong dãy trên là 7 và 11.

có lỗ hay dài quá ko :)

• Dấu hiệu nhận biết: Cho biểu thức phân thức𝐴=𝑃(𝑥)𝑄(𝑥). Đề bài yêu cầu: "Tìm số nguyênxx𝑥 để biểu thứcAcap A𝐴 có giá trị nguyên".
• Phương pháp giải: Tách phần biến ở tử số theo mẫu số để biến đổi biểu thức về dạng:𝐴=Sốnguyên+Sốnguyên𝑄(𝑥). ĐểAcap A𝐴 nguyên thì𝑄(𝑥) phải là ước của số nguyên trên tử.
• Ví dụ minh họa: Tìm𝑥∈ℤ để𝐴=2𝑥+7𝑥+2nguyên.
• • Bước 1 (Tách tử): Ta thấy ở tử có2x2 x2𝑥, gấp đôixx𝑥 ở mẫu. Ta tách:2𝑥+7=2(𝑥+2)+3.
  • Bước 2 (Chia tử cho mẫu):𝐴=2(𝑥+2)+3𝑥+2=2+3𝑥+2.
  • Bước 3 (Tìm ước): ĐểAcap A𝐴 nguyên thì3x+2the fraction with numerator 3 and denominator x plus 2 end-fraction3𝑥+2phải nguyên⇒𝑥+2 phải là Ước của333. Mà(3)={1;−1;3;−3}.
  • Bước 4 (Lập bảng tìm x):
  • • 𝑥+2=1⇒𝑥=−1
    • 𝑥+2=−1⇒𝑥=−3
    • 𝑥+2=3⇒𝑥=1
    • 𝑥+2=−3⇒𝑥=−5
  • Kết luận:𝑥∈{−1;−3;1;−5}.

• Dấu hiệu nhận biết: Đề bài cho một đa thức dài và cho biết𝑥=𝑎, hoặc cho một hệ thức như𝑥−𝑦=0 rồi bắt tính giá trị đa thức.
• Phương pháp giải:
• • Cách 1 (Thế ngược số vào đa thức bậc cao): Nếu đề cho giá trị𝑥=11 và bắt tính𝑃(𝑥)=𝑥4−12𝑥3+12𝑥2−12𝑥+15. Mẹo là hãy tách các số121212 thành(11+1), tức là(𝑥+1).
  • Cách 2 (Nhóm nhân tử chung): Nhóm các hạng tử lại với nhau để xuất hiện biểu thức đề bài đã cho bằng000.
• Ví dụ mẹo tính nhanh: Tính𝑃(𝑥)=𝑥4−12𝑥3+12𝑥2−12𝑥+15 tại𝑥=11.
• • Thay12=𝑥+1 vào đa thức:
  • 𝑃(𝑥)=𝑥4−(𝑥+1)𝑥3+(𝑥+1)𝑥2−(𝑥+1)𝑥+15
  • 𝑃(𝑥)=𝑥4−𝑥4−𝑥3+𝑥3+𝑥2−𝑥2−𝑥+15
  • 𝑃(𝑥)=−𝑥+15
  • Bây giờ chỉ việc thay𝑥=11 vào:𝑃(11)=−11+15=4. (Cực nhanh so với việc bấm máy tính lũy thừa bậc 4).

• Dấu hiệu nhận biết: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số (ví dụ:𝑛3−𝑛 chia hết cho666) hoặc chứng minh một số không phải là số chính phương.
• Phương pháp giải:
• • Với bài toán chia hết: Phân tích đa thức thành nhân tử (đưa về tích của các số tự nhiên liên tiếp). Nhớ quy tắc: Tích của 2 số liên tiếp luôn chia hết cho 2; tích của 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 6.
  • Với bài số chính phương: Xét chữ số tận cùng (số chính phương không bao giờ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8) hoặc xét số dư khi chia cho 3, cho 4 (số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1; chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1).

• Dấu hiệu nhận biết: Tìm Giá trị nhỏ nhất (GTNN) hoặc Giá trị lớn nhất (GTLN) của các biểu thức chứa nhiều dấu trị tuyệt đối chồng chéo.
• Công thức "vàng" đi thi:
• 1. |𝐴|+|𝐵|≥|𝐴+𝐵|. Dấu "=" xảy ra khi𝐴⋅𝐵≥0.
  2. |𝐴|−|𝐵|≤|𝐴−𝐵|. Dấu "=" xảy ra khi𝐴⋅𝐵≥0 và|𝐴|≥|𝐵|.
• Ví dụ kinh điển: Tìm GTNN của biểu thức𝐵=|𝑥−2025|+|𝑥−2026|.
• • Biến đổi: Ta giữ nguyên trị tuyệt đối thứ nhất, đổi dấu bên trong trị tuyệt đối thứ hai (vì|𝐴|=|−𝐴|):
    𝐵=|𝑥−2025|+|2026−𝑥|
  • Áp dụng công thức:𝐵≥|𝑥−2025+2026−𝑥|=|1|=1.
  • Kết luận: GTNN của𝐵=1. Dấu "=" xảy ra khi(𝑥−2025)(2026−𝑥)≥0⇒2025≤𝑥≤2026.

• Dấu hiệu nhận biết: Đề bài cho tam giác có các góc đặc biệt (30∘,45∘,60∘) hoặc bắt chứng minh bất đẳng thức hình học (ví dụ: chứng minh chu vi tam giác lớn hơn tổng 3 khoảng cách từ điểm trong tam giác đến 3 đỉnh).
• Mẹo Olympic:
• • Nếu bài toán xuất hiện góc60∘60 raised to the composed with power60∘ hoặc tam giác cân có một góc bằng60∘60 raised to the composed with power60∘, ngay lập tức nghĩ đến việc dựng thêm tam giác đều.
  • Nếu bài toán xuất hiện góc30∘30 raised to the composed with power30∘ trong tam giác vuông, hãy nhớ tính chất: Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc30∘30 raised to the composed with power30∘ bằng một nửa cạnh huyền.
  • Luôn tận dụng Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại (𝑎+𝑏>𝑐).

• Dấu hiệu nhận biết: Đề bài cho các đại lượng tỉ lệ thuận/nghịch với các số và bắt tính tổng, hiệu hoặc tích của chúng. 
• Phương pháp giải:
• 1. Gọi các đại lượng cần tìm là𝑥,𝑦,𝑧.
  2. Chuyển đổi đề bài thành hệ thức:𝑥𝑎=𝑦𝑏=𝑧𝑐.
  3. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:𝑥𝑎=𝑦𝑏=𝑧𝑐=𝑥+𝑦+𝑧𝑎+𝑏+𝑐hoặcx−ya−bthe fraction with numerator x minus y and denominator a minus b end-fraction𝑥−𝑦𝑎−𝑏. 
• Mẹo Olympic: Nếu đề cho tỉ lệ nghịch (ví dụ2𝑥=3𝑦=5𝑧), hãy chia tất cả cho BCNN của(2,3,5) là303030 để đưa về dạng tỉ lệ thuận:𝑥15=𝑦10=𝑧6. 

• Dấu hiệu nhận biết: Quy luật|𝐴(𝑥)|=𝐵(𝑥) hoặc|𝑥−𝑎|+|𝑥−𝑏|=𝑐. 
• Phương pháp giải:
• • Loại 1:|𝐴(𝑥)|=𝐵(𝑥). Chia 2 trường hợp:𝐵(𝑥)≥0 rồi giải𝐴(𝑥)=𝐵(𝑥) và𝐴(𝑥)=−𝐵(𝑥). (Nhớ đối chiếu điều kiện).
  • Loại 2:|𝑥−𝑎|+|𝑥−𝑏|=𝑐. Sử dụng phương pháp lập bảng xét dấu để phá dấu giá trị tuyệt đối trên từng khoảng giá trị củaxx𝑥. 
• Mẹo Olympic: Nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng𝐴=|𝑥−𝑎|+|𝑥−𝑏|, hãy áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối:|𝑚|+|𝑛|≥|𝑚+𝑛|.
• • Ví dụ:𝐴=|𝑥−1|+|3−𝑥|≥|𝑥−1+3−𝑥|=2. Dấu "=" xảy ra khi(𝑥−1)(3−𝑥)≥0⇒1≤𝑥≤3. 

• Dấu hiệu nhận biết: Tìmxx𝑥 khixx𝑥 nằm ở phần số mũ (ví dụ:𝑎𝑥+𝑎𝑥+𝑛=𝑏) hoặc so sánh hai số mũ cực lớn (ví dụ:23002 to the 300th power2300 và32003 to the 200th power3200). 
• Phương pháp giải:
• • Với bài tìm x: Đặt thừa số chung có số mũ nhỏ nhất ra ngoài để cô lậpxx𝑥.
  • • Ví dụ:3𝑥+3𝑥+2=270⇒3𝑥⋅(1+32)=270⇒3𝑥⋅10=270⇒3𝑥=27⇒𝑥=3.
  • Với bài so sánh: Đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ (bằng cách tìm ƯCLN của các số mũ).
  • • Ví dụ:2300=(23)100=8100 và3200=(32)100=9100. Vì8<9 nên2300<3200. 

• Dấu hiệu nhận biết: Tính tổng𝑆=11⋅2+12⋅3+13⋅4+...+1𝑛(𝑛+1). 
• Phương pháp giải: Tách mỗi phân số thành hiệu của hai phân số để chúng tự triệt tiêu lẫn nhau ở giữa. 
• Mẹo Olympic: Công thức tổng quát cực nhanh:𝑘𝑥⋅(𝑥+𝑘)=1𝑥−1𝑥+𝑘.
• • Áp dụng:11⋅2=1−12;12⋅3=12−13... Khi cộng lại, các phần tử ở giữa sẽ triệt tiêu hết, chỉ còn:𝑆=1−1𝑛+1. 

• Dấu hiệu nhận biết: Đề thi Olympic hình học lớp 7 luôn bắt chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau hoặc 3 điểm thẳng hàng. 
• Phương pháp giải: Gắn hai đoạn thẳng/góc đó vào hai tam giác và chứng minh chúng bằng nhau theo các trường hợp: c-c-c, c-g-c, g-c-g (hoặc các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông). 
• Mẹo vẽ đường phụ (Ăn điểm câu khó):
• • Nếu đề cho trung điểm của một cạnh⇒implies⇒ Hãy thử vẽ thêm đường trung tuyến hoặc kéo dài đoạn thẳng tạo tam giác đối xứng.
  • Nếu đề cho tia phân giác⇒implies⇒ Hãy thử kẻ các đường vuông góc từ một điểm trên phân giác xuống hai cạnh của góc để tạo ra các tam giác vuông bằng nhau. 

• Dấu hiệu nhận biết: Đề bài cho các đại lượng tỉ lệ thuận/nghịch với các số và bắt tính tổng, hiệu hoặc tích của chúng. 
• Phương pháp giải:
• 1. Gọi các đại lượng cần tìm là𝑥,𝑦,𝑧.
  2. Chuyển đổi đề bài thành hệ thức:𝑥𝑎=𝑦𝑏=𝑧𝑐.
  3. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:𝑥𝑎=𝑦𝑏=𝑧𝑐=𝑥+𝑦+𝑧𝑎+𝑏+𝑐hoặcx−ya−bthe fraction with numerator x minus y and denominator a minus b end-fraction𝑥−𝑦𝑎−𝑏. 
• Mẹo Olympic: Nếu đề cho tỉ lệ nghịch (ví dụ2𝑥=3𝑦=5𝑧), hãy chia tất cả cho BCNN của(2,3,5) là303030 để đưa về dạng tỉ lệ thuận:𝑥15=𝑦10=𝑧6. 

• Dấu hiệu nhận biết: Quy luật|𝐴(𝑥)|=𝐵(𝑥) hoặc|𝑥−𝑎|+|𝑥−𝑏|=𝑐. 
• Phương pháp giải:
• • Loại 1:|𝐴(𝑥)|=𝐵(𝑥). Chia 2 trường hợp:𝐵(𝑥)≥0 rồi giải𝐴(𝑥)=𝐵(𝑥) và𝐴(𝑥)=−𝐵(𝑥). (Nhớ đối chiếu điều kiện).
  • Loại 2:|𝑥−𝑎|+|𝑥−𝑏|=𝑐. Sử dụng phương pháp lập bảng xét dấu để phá dấu giá trị tuyệt đối trên từng khoảng giá trị củaxx𝑥. 
• Mẹo Olympic: Nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng𝐴=|𝑥−𝑎|+|𝑥−𝑏|, hãy áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối:|𝑚|+|𝑛|≥|𝑚+𝑛|.
• • Ví dụ:𝐴=|𝑥−1|+|3−𝑥|≥|𝑥−1+3−𝑥|=2. Dấu "=" xảy ra khi(𝑥−1)(3−𝑥)≥0⇒1≤𝑥≤3. 

• Dấu hiệu nhận biết: Tìmxx𝑥 khixx𝑥 nằm ở phần số mũ (ví dụ:𝑎𝑥+𝑎𝑥+𝑛=𝑏) hoặc so sánh hai số mũ cực lớn (ví dụ:23002 to the 300th power2300 và32003 to the 200th power3200). 
• Phương pháp giải:
• • Với bài tìm x: Đặt thừa số chung có số mũ nhỏ nhất ra ngoài để cô lậpxx𝑥.
  • • Ví dụ:3𝑥+3𝑥+2=270⇒3𝑥⋅(1+32)=270⇒3𝑥⋅10=270⇒3𝑥=27⇒𝑥=3.
  • Với bài so sánh: Đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ (bằng cách tìm ƯCLN của các số mũ).
  • • Ví dụ:2300=(23)100=8100 và3200=(32)100=9100. Vì8<9 nên2300<3200. 

• Dấu hiệu nhận biết: Tính tổng𝑆=11⋅2+12⋅3+13⋅4+...+1𝑛(𝑛+1). 
• Phương pháp giải: Tách mỗi phân số thành hiệu của hai phân số để chúng tự triệt tiêu lẫn nhau ở giữa. 
• Mẹo Olympic: Công thức tổng quát cực nhanh:𝑘𝑥⋅(𝑥+𝑘)=1𝑥−1𝑥+𝑘.
• • Áp dụng:11⋅2=1−12;12⋅3=12−13... Khi cộng lại, các phần tử ở giữa sẽ triệt tiêu hết, chỉ còn:𝑆=1−1𝑛+1. 

• Dấu hiệu nhận biết: Đề thi Olympic hình học lớp 7 luôn bắt chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau hoặc 3 điểm thẳng hàng. 
• Phương pháp giải: Gắn hai đoạn thẳng/góc đó vào hai tam giác và chứng minh chúng bằng nhau theo các trường hợp: c-c-c, c-g-c, g-c-g (hoặc các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông). 
• Mẹo vẽ đường phụ (Ăn điểm câu khó):
• • Nếu đề cho trung điểm của một cạnh⇒implies⇒ Hãy thử vẽ thêm đường trung tuyến hoặc kéo dài đoạn thẳng tạo tam giác đối xứng.
  • Nếu đề cho tia phân giác⇒implies⇒ Hãy thử kẻ các đường vuông góc từ một điểm trên phân giác xuống hai cạnh của góc để tạo ra các tam giác vuông bằng nhau. 

• Dấu hiệu nhận biết: Cho biểu thức phân thức𝐴=𝑃(𝑥)𝑄(𝑥). Đề bài yêu cầu: "Tìm số nguyênxx𝑥 để biểu thứcAcap A𝐴 có giá trị nguyên".
• Phương pháp giải: Tách phần biến ở tử số theo mẫu số để biến đổi biểu thức về dạng:𝐴=Sốnguyên+Sốnguyên𝑄(𝑥). ĐểAcap A𝐴 nguyên thì𝑄(𝑥) phải là ước của số nguyên trên tử.
• Ví dụ minh họa: Tìm𝑥∈ℤ để𝐴=2𝑥+7𝑥+2nguyên.
• • Bước 1 (Tách tử): Ta thấy ở tử có2x2 x2𝑥, gấp đôixx𝑥 ở mẫu. Ta tách:2𝑥+7=2(𝑥+2)+3.
  • Bước 2 (Chia tử cho mẫu):𝐴=2(𝑥+2)+3𝑥+2=2+3𝑥+2.
  • Bước 3 (Tìm ước): ĐểAcap A𝐴 nguyên thì3x+2the fraction with numerator 3 and denominator x plus 2 end-fraction3𝑥+2phải nguyên⇒𝑥+2 phải là Ước của333. Mà(3)={1;−1;3;−3}.
  • Bước 4 (Lập bảng tìm x):
  • • 𝑥+2=1⇒𝑥=−1
    • 𝑥+2=−1⇒𝑥=−3
    • 𝑥+2=3⇒𝑥=1
    • 𝑥+2=−3⇒𝑥=−5
  • Kết luận:𝑥∈{−1;−3;1;−5}.

• Dấu hiệu nhận biết: Đề bài cho một đa thức dài và cho biết𝑥=𝑎, hoặc cho một hệ thức như𝑥−𝑦=0 rồi bắt tính giá trị đa thức.
• Phương pháp giải:
• • Cách 1 (Thế ngược số vào đa thức bậc cao): Nếu đề cho giá trị𝑥=11 và bắt tính𝑃(𝑥)=𝑥4−12𝑥3+12𝑥2−12𝑥+15. Mẹo là hãy tách các số121212 thành(11+1), tức là(𝑥+1).
  • Cách 2 (Nhóm nhân tử chung): Nhóm các hạng tử lại với nhau để xuất hiện biểu thức đề bài đã cho bằng000.
• Ví dụ mẹo tính nhanh: Tính𝑃(𝑥)=𝑥4−12𝑥3+12𝑥2−12𝑥+15 tại𝑥=11.
• • Thay12=𝑥+1 vào đa thức:
  • 𝑃(𝑥)=𝑥4−(𝑥+1)𝑥3+(𝑥+1)𝑥2−(𝑥+1)𝑥+15
  • 𝑃(𝑥)=𝑥4−𝑥4−𝑥3+𝑥3+𝑥2−𝑥2−𝑥+15
  • 𝑃(𝑥)=−𝑥+15
  • Bây giờ chỉ việc thay𝑥=11 vào:𝑃(11)=−11+15=4. (Cực nhanh so với việc bấm máy tính lũy thừa bậc 4).

• Dấu hiệu nhận biết: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số (ví dụ:𝑛3−𝑛 chia hết cho666) hoặc chứng minh một số không phải là số chính phương.
• Phương pháp giải:
• • Với bài toán chia hết: Phân tích đa thức thành nhân tử (đưa về tích của các số tự nhiên liên tiếp). Nhớ quy tắc: Tích của 2 số liên tiếp luôn chia hết cho 2; tích của 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 6.
  • Với bài số chính phương: Xét chữ số tận cùng (số chính phương không bao giờ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8) hoặc xét số dư khi chia cho 3, cho 4 (số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1; chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1).

• Dấu hiệu nhận biết: Tìm Giá trị nhỏ nhất (GTNN) hoặc Giá trị lớn nhất (GTLN) của các biểu thức chứa nhiều dấu trị tuyệt đối chồng chéo.
• Công thức "vàng" đi thi:
• 1. |𝐴|+|𝐵|≥|𝐴+𝐵|. Dấu "=" xảy ra khi𝐴⋅𝐵≥0.
  2. |𝐴|−|𝐵|≤|𝐴−𝐵|. Dấu "=" xảy ra khi𝐴⋅𝐵≥0 và|𝐴|≥|𝐵|.
• Ví dụ kinh điển: Tìm GTNN của biểu thức𝐵=|𝑥−2025|+|𝑥−2026|.
• • Biến đổi: Ta giữ nguyên trị tuyệt đối thứ nhất, đổi dấu bên trong trị tuyệt đối thứ hai (vì|𝐴|=|−𝐴|):
    𝐵=|𝑥−2025|+|2026−𝑥|
  • Áp dụng công thức:𝐵≥|𝑥−2025+2026−𝑥|=|1|=1.
  • Kết luận: GTNN của𝐵=1. Dấu "=" xảy ra khi(𝑥−2025)(2026−𝑥)≥0⇒2025≤𝑥≤2026.

• Dấu hiệu nhận biết: Đề bài cho tam giác có các góc đặc biệt (30∘,45∘,60∘) hoặc bắt chứng minh bất đẳng thức hình học (ví dụ: chứng minh chu vi tam giác lớn hơn tổng 3 khoảng cách từ điểm trong tam giác đến 3 đỉnh).
• Mẹo Olympic:
• • Nếu bài toán xuất hiện góc60∘60 raised to the composed with power60∘ hoặc tam giác cân có một góc bằng60∘60 raised to the composed with power60∘, ngay lập tức nghĩ đến việc dựng thêm tam giác đều.
  • Nếu bài toán xuất hiện góc30∘30 raised to the composed with power30∘ trong tam giác vuông, hãy nhớ tính chất: Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc30∘30 raised to the composed with power30∘ bằng một nửa cạnh huyền.
  • Luôn tận dụng Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại (𝑎+𝑏>𝑐).