$A=2^1+2^2+2^3+...+2^{2010}$

$=\left(2^1+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{2009}+2^{2010}\right)$

$=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{2009}\left(1+2\right)$

$=3\left(2+2^3+...+2^{2009}\right)⋮3$

$A=2^1+2^2+2^3+...+2^{2010}$

$=\left(2^1+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}\right)$

$=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2008}\left(1+2+2^2\right)$

$=7\left(2+2^4+...+2^{2008}\right)⋮7$

Trong điện toán, phép toán modulo là phép toán tìm số dư của phép chia 2 số (đôi khi được gọi là modulus). ... Ví dụ, biểu thức "5 mod 2" bằng 1 vì 5 chia cho 2 có thương số là 2 là số dư là 1, trong khi "9 mod 3" bằng 0 do 9 chia 3 có thương số là 3 và số dư 0; không còn gì trong phép trừ của 9 cho 3 nhân 3.

Các số chia cho 25 dư 3 là các số có số tạo bởi 2 chữ số tận cùng là: 03; 28; 53; 78.

 Mà các số chia cho 4 dư 1 thì phải có số tạo bởi 2 chữ số tận cùng chia cho 4 dư 1.

 Trong các số: 03, 28, 53, 78 chỉ có 53 chia cho 4 dư 1.

=>Số chia cho 25 dư 3 còn chia cho 4 dư 1 là số có dạng ...53.

số đó là :  53

Gọi thương của số tự nhiên x tuần tự là a và b 

Theo đề, ta có: 

x = 4a + 1 

x = 25b + 3 

<=> 4a + 1 = 25b + 3 

4a = 25b + 2 

a = (25b + 2)/4 

b = 2 ; a = 13 <=> x = 53 

b = 6 ; a = 38 <=> x = 153 

b = 10 ; a = 63 <=> x = 253 

b = 14 ; a = 88 <=> x = 353 

b = 18 ; a = 113 <=> x = 453 

... 
Đáp số: Tất cả các số tự nhiên, tận cùng là 53 đều thoả mãn điều kiện.