Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
![](https://rs.olm.vn/images/bird.gif)
Tóm tắt kiến thức: Phương trình lượng giác cơ bản SVIP
1. Phương trình $\sin x = m$
Cách giải
+ Với $\left| m \right| >1$, phương trình $\sin x=m$ vô nghiệm.
+ Với $\left| m \right|\le 1$, gọi $\alpha $ là số thực thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]$ sao cho $\sin \alpha =m$. Khi đó, ta có:
$\sin x=m\Leftrightarrow \sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x=\alpha +k2\pi \\ &x=\pi -\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right., \, (k\in \mathbb{Z})$.
Chú ý
a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình $\sin x=m$:
⚡$\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$;
⚡$\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$;
⚡$\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$.
b) Ta có $\sin f(x)=\sin g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &f(x)=g(x)+k2\pi \\ &f(x)=\pi -g(x)+k2\pi \\ \end{aligned} \right.,\,(k\in \mathbb{Z})$.
c) Nếu $x$ là góc lượng giác có đơn vị độ là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác $x$ sao cho $\sin x=\sin a^\circ$ như sau:
$\sin x=\sin a^\circ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x=a^\circ+k360^\circ \\ x=180^\circ -a^\circ +k360^\circ \\ \end{aligned} \right.,\,(k\in \mathbb{Z})$.
2. Phương trình $\cos x = m$
Cách giải
+ Với $\left| m \right|>1$, phương trình $\cos x=m$ vô nghiệm.
+ Với $\left| m \right|\le 1$, gọi $\alpha $ là số thực thuộc đoạn $\left[ 0;\,\pi \right]$ sao cho $\cos \alpha =m$. Khi đó, ta có:
$\cos x=m\Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x=\alpha +k2\pi \\ &x=-\alpha +k2\pi \\ \end{aligned} \right., \, (k\in \mathbb{Z})$.
Chú ý
a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình $\cos x=m$:
⚡$\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$;
⚡$\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$;
⚡$\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$.
b) Ta có $\cos f(x)=\cos g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &f(x)=g(x)+k2\pi \\ &f(x)=-g(x)+k2\pi \\ \end{aligned} \right.,\,(k\in \mathbb{Z})$.
c) Nếu $x$ là góc lượng giác có đơn vị độ là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác $x$ sao cho $\cos x=\cos a^\circ$ như sau:
$\cos x=\cos a^\circ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x=a^\circ+k360^\circ \\ x=-a^\circ+k360^\circ \\ \end{aligned} \right.,\,(k\in \mathbb{Z})$.
3. Phương trình $\tan x = m$
Cách giải
Gọi $\alpha $ là số thực thuộc khoảng $\Big( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \Big)$ sao cho $\tan \alpha =m$. Khi đó với mọi $m \in \mathbb{R}$, ta có:
$\tan x=m\Leftrightarrow \tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$.
Chú ý
Nếu $x$ là góc lượng giác có đơn vị độ thì ta có thể tìm góc lượng giác $x$ sao cho $\tan x=\tan a^\circ$ như sau:
$\tan x=\tan a^\circ \Leftrightarrow x=a^\circ+k180^\circ,\,(k\in \mathbb{Z})$.
4. Phương trình $\cot x = m$
Cách giải
Gọi $\alpha $ là số thực thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right)$ sao cho $\cot \alpha =m$. Khi đó với mọi $m\in \mathbb{R}$, ta có:
$\cot x=m\Leftrightarrow \cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$.
Chú ý
Nếu $x$ là góc lượng giác có đơn vị độ thì ta có thể tìm góc lượng giác $x$ sao cho $\cot x=\cot a^\circ$ như sau:
$\cot x=\cot a^\circ \Leftrightarrow x=a^\circ+k180^\circ,\,(k\in \mathbb{Z})$.
Dạng 1. Giải phương trình $\sin x = a; \cos x = b$
Phương pháp:
⚡$\sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x=\alpha +k2\pi \\& x=\pi -\alpha +k2\pi \end{aligned} \right. , \, (k\in \mathbb{Z})$.
⚡$\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x=\alpha +k2\pi \\& x=-\alpha +k2\pi \end{aligned} \right. , \, (k\in \mathbb{Z})$.
Ví dụ 1. Giải phương trình $2\sin x=1$.
Lời giải
$\sin x=\dfrac12 \Leftrightarrow \sin x= \sin \dfrac{\pi}6 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ &x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \end{aligned} \right.$, với $k \in \mathbb{Z}$.
Ví dụ 2. Giải phương trình $2\cos x+\sqrt{2}=0$.
Lời giải
$2\cos x+\sqrt{2}=0\Leftrightarrow \cos x=\dfrac{-\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos x=\cos \dfrac{3\pi}4 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi \\ & x=\dfrac{-3\pi }{4}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.$, với $k \in \mathbb{Z}$.
Dạng 2. Giải phương trình $\tan x = c; \cot x = d$
Phương pháp:
⚡Bước 1. Tìm điều kiện xác định
$\tan u(x)$ xác định khi $u(x) \ne \dfrac{\pi}2 + k\pi$;
$\cot v(x)$ xác định khi $v(x) \ne k\pi$.
⚡Bước 2. Sử dụng công thức nghiệm
$\tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$;
$\cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi ,\,(k\in \mathbb{Z})$.
⚡Bước 3. Đối chiếu điều kiện và kết luận
Ví dụ 3. Giải phương trình $\sqrt{3}+3\tan x=0$.
Lời giải
Ta có $\sqrt{3}+3\tan x=0 \Leftrightarrow \tan x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow \tan x=\tan \Big( -\dfrac{\pi }{6} \Big) \Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{6}+k\pi ,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Ví dụ 4. Giải phương trình $2\cot x-\sqrt{3}=0$.
Lời giải
$2\cot x-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \cot x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=arc \cot \dfrac{\sqrt{3}}{2}+k\pi, \, \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Dạng 3. Tìm điều kiện để phương trình $\sin x = a$ và $\cos x = b$ có nghiệm
Phương pháp
Phương trình $\sin x = a$ hoặc $\cos x = a$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1 \le a \le 1$.
Ví dụ 5. Cho phương trình $\cos \Big( 2x-\dfrac{\pi }{3} \Big)-m=2$. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
Lời giải
$\cos \Big( 2x-\dfrac{\pi }{3} \Big)-m=2 \Leftrightarrow \cos \Big( 2x-\dfrac{\pi }{3} \Big) = m + 2$
Phương trình đã cho có nghiệm khi $-1\le m+2\le 1$ hay $-3\le m\le -1$.
Bạn có thể đánh giá bài học này ở đây