Phép chia đa thức một biến SVIP

I. CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC

Muốn chia đơn thức \(A\) cho đơn thức \(B\left(B\ne0\right)\) khi số mũ của biến trong \(A\) lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong \(B\), ta làm như sau:

• Chia hệ số của đơn thức \(A\) cho hệ số của biến đó trong \(B;\)
• Chia lũy thừa của biến trong \(A\) cho lũy thừa của biến đó trong \(B;\)
• Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Chú ý. 

\(\left(ax^m\right):\left(bx^n\right)=\dfrac{a}{b}x^{m-n}\left(a\ne0;b\ne0;m,n\inℕ;m\ge n\right).\)

Ví dụ. Tính

a) \(\left(8x^3\right):\left(2x\right)\)                      b) \(\left(-15x^m\right):\left(3x^n\right)\left(m;n\inℕ;m\ge n\right)\).

Giải

Ta có

a) \(\left(8x^3\right):\left(2x\right)=\left(8:2\right).\left(x^3:x\right)=4x^{3-1}=4x^2.\)

b) \(\left(-15x^m\right):\left(3x^n\right)=\left[\left(-15\right):3\right].\left(x^m:x^n\right)=-5x^{m-n}.\)

II. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

Muốn chia đa thức \(P\) cho đơn thức \(Q\left(Q\ne0\right)\) khi số mũ cuả biến ở mỗi đơn thức của \(P\) lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong \(Q\), ta chia mỗi đơn thức của đa thức \(P\) cho đơn thức \(Q\) rồi cộng các thương với nhau.

Ví dụ. Tính \(\left(3x^4+2x^3-8x^2\right):\left(2x^2\right)\)

Giải

Ta có

\(\left(3x^4+2x^3-8x^2\right):\left(2x^2\right)=\left(3x^4\right):\left(2x^2\right)+\left(2x^3\right):\left(2x^2\right)-\left(8x^2\right):\left(2x^2\right)=\dfrac{3}{2}x^2+x-4\).

III. CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

Để chia một đa thức cho một đa thức khác đa thức không (cả hai đa thức đều đã thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ giảm dần của biến) khi bậc của đa thức bị chia bé hơn bậc của đa thức chia ta làm như sau:

Bước 1:

• Chia đơn thức bậc cao nhất của đa thức bị chia cho đơn thức bậc cao nhất của đa thức chia.
• Nhân kết quả trên với đa thức chia và đặt tích dưới đa thức bị chia sao cho hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột.
• Lấy đa thức bị chia trừ đi tích đặt dưới để được đa thức mới.

Bước 2:

Tiếp tục quá trình trên cho đến khi nhận được đa thức không hoặc đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Ví dụ. Để chia đa thức \(A=6x^3-2x^2-9x+3\) cho đa thức \(B=3x-1\), ta làm như sau:

Bước 1.  

Lấy đơn thức bậc cao nhất của \(A\) chia cho đơn thức bậc cao nhất của \(B\): 

\(6x^3:3x=2x^2\)

Lấy \(A-B.\left(2x^2\right)\) ta được đa thức mới là \(-9x+3\);

Bước 2.

Tiếp tục lấy đa thức \(-9x+3\) chia cho đa thức \(3x-1\) ta được đa thức không.

Ta được thương là đa thức \(2x^2-3.\)

Nhận xét:

• Khi chia đa thức \(A\) cho đa thức \(B\) của cùng một biến (\(B\ne0\)) có hai khả năng xảy ra:

- Phép chia có dư bằng \(0\), ta nói đa thức \(A\) chia hết cho đa thức \(B.\)

- Phép chia có dư là đa thức \(R\left(R\ne0\right)\) với bậc của \(R\) nhỏ hơn bậc của \(B\), phép chia trong trường hợp này là phép chia có dư.

• Với hai đa thức \(A\) và đa thức \(B\) của cùng một biến (\(B\ne0\)), tồn tại duy nhất một cặp đa thức \(Q\) và \(R\) sao cho \(A=B.Q+R\), trong đó \(R=0\) hoặc bậc của \(R\) nhỏ hơn bậc của \(B.\) 

Ví dụ. Chia đa thức \(4x^3-2x^2-3x+7\) cho đa thức \(x^2-1\).

Giải

Ta có

Phép chia trên gọi là phép chia có dư với đa thức thương là \(4x-2\) và đa thức dư là \(x+5\)