Bài học cùng chủ đề
Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
Phần tự luận (5 điểm) SVIP
Bài 1. (2 điểm)
a) Liệt kê các phần tử của tập hợp $A=\left\{ x\in \mathbb{Z} \, \Big| \, 2{{x}^{2}}+3x+1=0 \right\}$.
b) Cho hai tập hợp $A=\left\{ x\in \mathbb{R} \, \Big| \, |x|>4 \right\}$ và $B=\left\{ x\in \mathbb{R} \, \Big| \, -5\le x-1<5 \right\}$. Xác định tập $X=B\backslash A$.
Hướng dẫn giải:
a) Liệt kê các phần tử của tập hợp $A=\left\{ x\in \mathbb{Z} \, \Big| \, 2{{x}^{2}}+3x+1=0 \right\}$
Ta có: $2{{x}^{2}}+3x+1=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}& x=-\dfrac{1}{2} \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right.$.
Do đó: $A=\left\{ -1 \right\}$.
b) Cho hai tập hợp $A=\left\{ x\in \mathbb{R} \, \Big| \, |x|>4 \right\}$ và $B=\left\{ x\in \mathbb{R} \, \Big| \, -5\le x-1<5 \right\}$. Xác định tập $X=B\backslash A$.
Ta có:
⚡$|x|>4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x>4 \\ & x<-4 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow A=\left( -\infty ;\,-4 \right)\cup \left( 4;\,+\infty \right)$.
⚡$-5\le x-1<5\Leftrightarrow -4\le x<6\Rightarrow B=\left[ -4;\,6 \right)$.
Suy ra $X=B\backslash A=\left[ -4;\,4 \right]$.
Bài 2. (1 điểm) Cho đoạn $A=\left[ -1;2 \right]$ và nửa khoảng $B=\left( m-1;m+5 \right]$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $A\cap B$ có đúng $4$ phần tử nguyên?
Hướng dẫn giải:
Đoạn $A=\left[ -1;2 \right]$ có $4$ phần tử nguyên là: $\left\{ -1;0;1;2 \right\}$.
Với $m\in \mathbb{Z}$, $B=\left( m-1;m+5 \right]$ có các phần tử nguyên là: $\left\{ m;m+1;m+2;m+3;m+4;m+5 \right\}$.
Để $A\cap B$ có đúng $4$ phần tử nguyên thì $\left[ \begin{aligned} & m=-1 \\ & m+1=-1 \\ & m+2=-1 \\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m=-1 \\ & m=-2 \\ & m=-3 \\ \end{aligned} \right.$.
Vậy có $3$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề bài.
Bài 3. (1 điểm) Một cửa hàng bán bánh có bán hai loại bánh A và bánh B. Để làm ra một phần bánh A, cửa hàng cần: 2 gam bột, 1 gam đường và 5 gam nhân bánh. Để làm ra một phần bánh B, cần: 1 gam bột, 2 gam đường và 5 gam nhân bánh. Biết rằng cứ một phần bánh A thì cửa hàng có lợi nhuận 16 nghìn đồng, một phần bánh B có lợi nhuận 20 nghìn đồng. Hỏi cửa hàng cần làm bao nhiêu phần bánh mỗi loại để lợi nhuận cao nhất? Biết trong kho cửa hàng chỉ còn dùng được tối đa 20 gam bột, 10 gam đường và 40 gam nhân bánh.
Hướng dẫn giải:
Gọi $x$, y$ lần lượt là số phần bánh loại A và loại B mà cửa hàng làm ra.
Theo đề bài, ta thấy
Để làm ra $x$ phần bánh loại A cần $2x$ gam bột, $x$ gam đường và $5x$ gam nhân bánh;
Để làm ra $y$ phần bánh loại B cần $y$ gam bột, $2y$ gam đường và $5y$ gam nhân bánh.
Lợi nhuận của cửa hàng là $F\left( x \right)=16x+20y$ ( nghìn đồng).
Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{aligned} & 2x+y\le 20 \\ & x+2y\le 10 \\ & 5x+5y\le 40 \\ & x, \, y\in \mathbb{N} \\ \end{aligned} \right.$
Biểu diễn lên hệ trục $Oxy$, ta có miền nghiệm là tứ giác $OABC$, kể cả các cạnh của tứ giác (như hình vẽ) với $O\left( 0\,;\,0 \right)$, $A\left( 0\,;\,5 \right),$ $B\left( 6\,;\,2 \right),$ $C\left( 8\,;\,0 \right)$.
Ta tính lợi nhuận của cửa hàng tại tọa độ các đỉnh của miền nghiệm:
$F\left( 0\,;0 \right)=0$ nghìn đồng; $F\left( 0\,;5 \right)=100$ nghìn đồng
$F\left( 6\,;2 \right)=136$ nghìn đồng; $F\left( 8\,;0 \right)=128$ nghìn đồng
Vậy ta thấy, nếu cửa hàng làm $6$ phần bánh loại A và $2$ phần bánh loại B thì sẽ đạt được lợi nhuận cao nhất.
Bài 4. (1 điểm) Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $P$, $Q$ là các điểm sao cho $\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PB}$, $\overrightarrow{AQ}+k\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$ với $k\in R$. Tìm $k$ để $P$, $Q$ $G$ thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
Ta có $\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PB}$ suy ra $P$ đối xứng với $A$ qua $B$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
$\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\left( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} \right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AG}=-2\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AQ}=-k\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}=-k\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=-2\overrightarrow{AB}-k\overrightarrow{AC}$.
Vì $P,$ $Q,$ $G$ thẳng hàng nên $\dfrac{-k}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{2}{\dfrac{5}{3}}$.
Suy ra $k=-\dfrac{2}{5}$.