Bài học cùng chủ đề
Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
Phần tự luận (3 điểm) SVIP
Bài 1. (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{x+9}{x-2m-1}$ xác định trên đoạn $\left[ 3;5 \right].$
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định của hàm số là $x-2m-1\ne 0\Leftrightarrow x\ne 2m+1$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 2m+1\notin \left[ 3;5 \right]\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 2m+1<3 \\ & 2m+1>5 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m<1 \\ & m>2 \\ \end{aligned} \right.$.
Bài 2. (1 điểm) Một tình huống trong huấn luyện pháo binh được mô tả như hình vẽ dưới đây:
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, khẩu đại bác được biểu thị bằng điểm $O\left( 0;0 \right)$ và bia mục tiêu được biểu thị bằng đoạn thẳng $MN$ với $M\left( 2 \, 100;25 \right)$ và $N\left( 2 \, 100;15 \right)$. Xạ thủ cần xác định parabol $y=-{{a}^{2}}{{x}^{2}}+10ax, \, \left( a>0 \right)$ mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn sao cho viên đạn bắn ra từ khẩu đại bác phải chạm vào bia mục tiêu. Tìm giá trị lớn nhất của $a$ để xạ thủ đạt được mục đích trên.
Hướng dẫn giải:
Tại vị trí $x=2 \, 100$, độ cao của viên đạn là: $y=-4 \, 410 \, 000{{a}^{2}}+21 \, 000a$.
Viên đạn chạm được vào bia mục tiêu khi và chỉ khi $a$ thỏa mãn hệ bất phương trình sau
$\left\{ \begin{aligned} & 2 \, 100\le \dfrac{10}{a} \\ & -4 \, 410 \, 000{{a}^{2}}+21 \, 000a\le 25 \\ & -4 \, 410 \, 000{{a}^{2}}+21 \, 000a\ge 15 \\ & a>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{1}{420}-\dfrac{\sqrt{10}}{2 \, 100}\le a\le \dfrac{1}{420}+\dfrac{\sqrt{10}}{2 \, 100}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $a$ là $\dfrac{1}{420}+\dfrac{\sqrt{10}}{2 \, 100}=\dfrac{5+\sqrt{10}}{2 \, 100}$.
Bài 3. (1 điểm) Cho tam giác $ABC$, điểm $J$ thỏa mãn $\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{KJ}$, $I$ là trung điểm của cạnh $AB$, điểm $K$ thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$. Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $\left( 3\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{AK} \right).\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right)=0$.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=4\overrightarrow{MK}$.
Lấy điểm $J$ thỏa mãn $\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{KJ}$.
Ta có $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AC} \right)=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{4}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{2}$, mà $\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{KJ}$ nên
$\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{AK}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AK}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
Mà $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.
Suy ra $J$ là điểm cố định nằm trên đoạn thẳng $BC$ xác định bởi hệ thức $\overrightarrow{BJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.
Ta có $3\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{MK}+3\overrightarrow{KJ}=3\overrightarrow{MJ}$.
Như vậy $\left( 3\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{AK} \right).\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right)=0\Leftrightarrow \left( 3\overrightarrow{MJ} \right).\left( 4\overrightarrow{MK} \right)=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MJ}.\overrightarrow{MK}=0$.
Từ đó suy ra điểm $M$ thuộc đường tròn đường kính $JK$.
Vì $J$, $K$ là các điểm cố định nên điểm $M$ luôn thuộc một đường tròn đường kính $JK$.