Bài học cùng chủ đề
Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
Phần tự luận (3 điểm) SVIP
Câu 1.
a) (0,5 điểm). Tính giới hạn $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\sqrt{x+3}+x-5}{x-{{x}^{2}}}$.
b) (0,5 điểm). Tìm các số thực $a, \, b$ thỏa mãn $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}-1} \right)=-\dfrac{1}{2}.$
Hướng dẫn giải:
a) $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\sqrt{x+3}+x-5}{x-{{x}^{2}}}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( 2\sqrt{x+3}+\left( x-5 \right) \right)\left( 2\sqrt{x+3}-\left( x-5 \right) \right)}{\left( x-{{x}^{2}} \right)\left( 2\sqrt{x+3}-\left( x-5 \right) \right)}$
$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-{{x}^{2}}+14x-13}{-x\left( x-1 \right)\left( 2\sqrt{x+3}-\left( x-5 \right) \right)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-\left( x-1 \right)\left( x-13 \right)}{-x\left( x-1 \right)\left( 2\sqrt{x+3}-\left( x-5 \right) \right)}$
$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-\left( x-13 \right)}{-x\left( 2\sqrt{x+3}-\left( x-5 \right) \right)}=-\dfrac{3}{2}$
b) $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}-1}=-\dfrac{1}{2}$.
Suy ra $x=1$ là nghiệm của tử số $\Rightarrow 1+a+b=0\Leftrightarrow b=-a-1.$
Ta có $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+ax-a-1}{{{x}^{2}}-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x-1 \right)\left( x+a+1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=-\dfrac{1}{2}.$
Do đó $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}-1}=-\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2+a}{2}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=-3, \, b=2.$
Bài 2. Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt $20 \, 000$ đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua $9$ lần liên tiếp và thắng ở lần thứ $10.$ Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Số tiền du khác đặt trong mỗi lần là một cấp số nhân có ${{u}_{1}}=20\,000$ và công bội $q=2.$
Du khách thua trong $9$ lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là: ${{S}_{9}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{9}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{p}^{9}} \right)}{1-p}=10 \, 220 \, 000$.
Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ $10$ là ${{u}_{10}}={{u}_{1}}.{{p}^{9}}=10\,240 \, 000$.
Ta có ${{u}_{10}}-{{S}_{9}}=20\,\,000>0$ nên du khách thắng $20$ $000$.
Bài 3 (1,0 điểm). Cho chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M, \, N, \, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, \, CD, \, SD.$
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBD \right);$ chứng minh rằng $NP$ // $\left( SBC \right).$
b) Gọi là $Q$ giao điểm của $SA$ với $\left( MNP \right).$ Tính tỉ số $\dfrac{SQ}{SA}.$
Hướng dẫn giải:
a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Xét hai mp $(SAC)$ và $(SBD)$ có
$S$ là điểm chung của hai mặt phẳng.
$O\in AC\subset \left( SAC \right) $
$O\in BD\subset \left( SBD \right) $
Suy ra $O$ là điểm chung của hai mặt phẳng.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SO$.
$\left\{ \begin{aligned} &NP\not\subset \left( SBC \right)\\ &NP \text{//} SC\\ &SC\subset \left( SBC \right) \end{aligned} \right.$
$\Rightarrow NP$ // $\left( SBC \right).$
b) Gọi $I=AC\cap MN.$
$\left\{ \begin{aligned} & NP//SC \\ & IQ=\left( PMN \right)\cap \left( SAC \right) \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow IQ$ // $SC\Rightarrow \dfrac{CI}{CA}=\dfrac{SQ}{SA}$
Ta có: $CI=\dfrac{1}{2}CO=\dfrac{1}{4}CA\Rightarrow \dfrac{SQ}{SA}=\dfrac{CI}{CA}=\dfrac{1}{4}$.