Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
Lý thuyết biến ngẫu nhiên rời rạc SVIP
I. Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc
Đại lượng $X$ được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hợp hữu hạn nào đó, mỗi giá trị ấy không dự đoán trước được và phụ thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên $T$.
Ví dụ 1: Xét phép thử $T:$ "Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một lần."
-) Không gian mẫu $\Omega =\{$ mặt 1 chấm; mặt 2 chấm; ... ; mặt 6 chấm $\}$.
-) Đại lượng $X$ là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập hợp $\{0;1;2;3;4;5;6\}$.
II. Phân bố xác suất của biến ngâu nhiên rời rạc
Giả sử $X$ là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là $\left\{x_1 ; x_2 ; \ldots ; x_n\right\}$. Giả sử xác suất để $X$
nhận giá trị $x_k$ bằng $p_k$, tức là $\mathrm{P}\left(X=x_k\right)=p_k$ với $k=1,2, \ldots, n$. Các thông tin về $X$
như vậy được trình bày dưới dạng như bảng sau:
$X$ | $x_1$ | $x_2$ | $...$ | $x_n$ |
$P$ | $p_1$ | $p_2$ | $...$ | $p_n$ |
Bảng trên được gọi là bảng phân bố xác suất (hay gọi tắt là phân bố xác suất) của biến ngẫu nhiên rời rạc $X$.
Người ta chứng minh được rằng $p_1+p_2+...+p_n=1$.
Ví dụ 2: Xét phép thử $T:$ "Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp." Xét biến ngẫu nhiền rời rạc $X$ là số lần xuất hiện mặt ngửa.
Xét các biến cố:
$X=0:$ "Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng $0$"
$X=1:$ "Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng $1$"
$X=2:$ "Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng $2$"
Ta tính được:
$P(X=0) = \dfrac{1}{4}$; $P(X=1) = \dfrac{1}{2}$; $P(X=2) = \dfrac{1}{4}$.
III. Kỳ vọng
Kì vọng của $X$, kí hiệu là ${E}(X)$, là một số được tính theo công thức:
${E}(X)=x_1 p_1+x_2 p_2+\ldots+x_n p_n$
Nhận xét:
- Kì vọng là một số cho ta ý niệm về độ lớn trung bình của $X$. Vì thế kì vọng ${E}(X)$ còn được gọi là giá trị trung bình của $X$.
- Kì vọng của $X$ không nhất thiết thuộc tập giá trị của $X$.
Ví dụ 3: Một hộp đựng $10$ quả cầu có cùng kích thước và màu sắc nhưng khác nhau về khối lượng: $5$ quả cầu nặng $1$ kg $, 2$ quả cầu nặng $2,$ kg $3$ quả cầu nặng $3$ kg. Chọn ngẫu nhiên $1$ quả cầu từ chiếc hộp.
a) Tính khối lượng trung bình của $10$ quả cầu trên.
b) Gọi $X$ (kg) là khối lượng của quả cầu được chọn. Tính xác suất $p_1={P}(X=1), p_2={P}(X=2), p_3={P}(X=3)$ và giá trị của biểu thức ${E}(X)=1 p_1+2 p_2+3 p_3$.
c) So sánh khối lượng trung bình của $10$ quả cầu và giá trị của ${E}(X)$.
Giải
a) Khối lượng trung bình của $10$ quả cầu là
$\bar{x} = \dfrac{5 .1 + 2.2 + 3.3}{10} = 1,8$ (kg)
b) Ta tính được: $P(X=1) = \dfrac{1}{2}$; $P(X=2) = \dfrac{1}{5}$ và $P(X=3) = \dfrac{3}{10}$
$E(x) = 1 . \dfrac{1}{2} + 2 . \dfrac{1}{5} + 3 . \dfrac{3}{10} = 1,8$
c) $\bar{x} = E(x)$.
IV. Phương sai và độ lệch chuẩn
- Phương sai của $X$, kí hiệu là ${V}(X)$, là số thực được tính theo công thức:
${V}(X)=\left(x_1-\mu\right)^2 p_1+\left(x_2-\mu\right)^2 p_2+\ldots+\left(x_n-\mu\right)^2 p_n .$
- Căn bậc hai (số học) của phương sai, kí hiệu là $\sigma(X)$, được gọi là độ lệch chuẩn của $X$, nghĩa là $\sigma(X)=\sqrt{{V}(X)}$.
Nhận xét:
- Phương sai cũng như độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc là một số không âm. Nó cho ta một ý niệm về mức độ phân tán các giá trị của $X$ xung quanh giá trị trung bình. Phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) càng lớn thì độ phân tán càng lớn.
- Độ lệch chuẩn cùng đơn vị đo với $X$.
Ví dụ 4:
Thời gian sản xuất mỗi sản phẩm (đơn vị: phút) của máy $A$, máy $B$ lần lượt xác định các biến ngẫu nhiên rời rạc $X, Y$ có phân bố xác suất được cho ở hai bảng sau:
$X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | space | $Y$ | $1$ | $3$ | $4$ | $5$ |
$P$ | $0,3$ | $0,1$ | $0,5$ | $0,1$ | $P$ | $0,55$ | $0,05$ | $0,3$ | $0,1$ |
Nếu phải chọn mua một trong hai máy trên, ta nên chọn mua máy nào?
Giải
Xét thời gian sản xuất mỗi sản phẩm của mỗi máy, ta có:
${E}(X)=1 . 0,3+2 . 0,1+3 . 0,5+4 . 0,1=2,4$
${E}(Y)=1 . 0,55+3 . 0,05+4 . 0,3+5 . 0,1=2,4$
Vậy ${E}(X)={E}(Y)$.
Xét phương sai của thời gian sản xuất mỗi sản phẩm của mỗi máy, ta có:
$\begin{aligned} & {V}(X)=1^2 . 0,3+2^2 . 0,1+3^2 . 0,5+4^2 . 0,1-2,4^2=1,04 \\ & {~V}(Y)=1^2 . 0,55+3^2 . 0,05+4^2 . 0,3+5^2 . 0,1-2,4^2=2,54 \end{aligned}$
Ta thấy ${V}(Y)>{V}(X)$, nghĩa là thời gian sản xuất mỗi sản phẩm của máy $A$ ổn định hơn so với máy $B$. Vậy ta nên chọn mua máy $A$.
Bạn có thể đánh giá bài học này ở đây