1. Khái niệm

Định nghĩa

Cho hai số dương $a, b$ với \(a\ne1\). Số $\alpha$ thỏa mãn đẳng thức \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b, kí hiệu là \(\log_ab\)

\(\alpha=\log_ab\Leftrightarrow a^{\alpha}=b\).

Chú ý

Không có lôgarit của số âm và số 0

Tính chất

Cho hai số dương $a, b$, \(a\ne1\) ta có

• \(log_a1=0\);
• \(log_aa=1\);
• \(a^{log_ab}=b;\)
• \(log_a\left(a^{\alpha}\right)=\alpha\).

Ví dụ 1. 

a. \(4^{2log_46}=\left(4^{log_46}\right)^2=6^2=36.\)

b. \(log_{\dfrac{1}{3}}27=log_{\dfrac{1}{3}}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3}=-3.\)

2. Quy tắc tính lôgarit

Cho ba số dương $a, b, c$ và \(a\ne1\). Ta có:

• Lôgarit của một tích: \(log_a\left(b.c\right)=log_ab+log_ac\);
• Lôgarit của một thương: \(log_a\left(\dfrac{b}{c}\right)=log_ab-log_ac\);
• Lôgarit của một lũy thừa: \(log_ab^{\alpha}=\alpha log_ab\).

Đặc biệt \(log_a\sqrt[n]{b}=\dfrac{1}{n}log_ab.\)

Ví dụ 2.

a. \(log_{10}20+log_{10}5=log_{10}\left(20.5\right)=log_{10}100=2.\)

b.  \(log_24^{\dfrac{1}{7}}=log_22^{\dfrac{2}{7}}=\dfrac{2}{7}log_22=\dfrac{2}{7}\)

3. Đổi cơ số

Cho ba số dương $a, b, c$ và \(a\ne1,c\ne1\), ta có \(log_ab=\dfrac{log_cb}{log_ca}\)

Đặc biệt:

• \(log_ab=\dfrac{1}{log_ba}\) với \(b\ne1\);
• \(log_{a^{\alpha}}b=\dfrac{1}{\alpha}log_ab\) với \(\alpha\ne0\).

4. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên

+ Lôgarit thập phân: là lôgarit cơ số 10, $log_{10}b$ thường kí hiệu \(logb\).

+ Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số $e$, $log_{e}b$ thường kí hiệu \(lnb\).

trong đó, \(e=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\approx2,718282\).