Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia SVIP

1. KHAI CĂN BẬC HAI VỚI PHÉP NHÂN

CÔNG THỨC

Với $A$, $B$ là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt A . \sqrt B = \sqrt{AB}$.

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt {27} . \sqrt 3 = \sqrt{27 . 3} =  \sqrt{81} = 9$.

a) $\sqrt {125} . \sqrt5 = \sqrt{125 . 5} =  \sqrt{625} = 25$.

CHÚ Ý

Kết quả trên có thể mở rộng cho nhiều biểu thức không âm, ví dụ: với $A \ge 0;$ $B \ge 0$; $C \ge 0$ thì:

$\sqrt {A }. \sqrt {B} . \sqrt {C}  =  \sqrt{ ABC}$.

Ví dụ 2. Tính giá trị căn thức: $\sqrt{2^2 . 3^2 . 5^2}$.

Lời giải

$\sqrt{2^2 . 3^2 . 5^2} = \sqrt {2^2} .  \sqrt {3^2} .  \sqrt {5^2} =  2. 3. 5 = 30$.

2. KHAI CĂN BẬC HAI VỚI PHÉP CHIA

CÔNG THỨC

Nếu $A$, $B$ là các biểu thức với $A \ge 0$; $B > 0$, thì $\sqrt{\dfrac AB} = \dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}$.

Ví dụ 3. Tính. $\sqrt 8  \, : \, \sqrt 2$.

Lời giải

$\sqrt 8  \, : \, \sqrt 2 = \sqrt{8 \, : \, 2} = \sqrt 4 = 2$.

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức $\sqrt{52a^3} \, :  \, \sqrt{13a}$ với $a > 0$.

Lời giải

$\sqrt{52a^3} \, :  \, \sqrt{13a} =  \sqrt{52a^3 \, : \, 13a} = \sqrt{4a^2} = \sqrt{(2a)^2} = 2a$ (vì $a > 0$).

Ví dụ 5. Cho biểu thức $P = \dfrac{x\sqrt x + 1}{x -\sqrt x + 1} - 1$ với $x \ge 0$.

a) Rút gọn $P$.

b) Tính giá trị của $P$ tại $x = 100$.

Lời giải

a) Ta có $x\sqrt x + 1 = \big((\sqrt x)^3 + 1\big)\big[(\sqrt x)^2 - \sqrt x. 1 + 1^2\big] = (\sqrt x + 1)(x - \sqrt x + 1)$.

Suy ra $P = (\sqrt x + 1) - 1 = \sqrt x$.

b) Tại $x = 100$ (thỏa mãn điều kiện) thì $P = \sqrt{100} = 10$.