Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'.$ Gọi $M$ là trung điểm ${A}'{C}'.$ Tỉ số thể tích của khối tứ diện ${B}'ABM$ với khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là

Nếu tăng cạnh của một khối lập phương lên hai lần thì thể tích khối lập phương tăng lên

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=AC=2a$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $AB$. Biết $SH=a$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng chứa trục $Oy$ và điểm $K(2;1;-1)$?

Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là $2\sqrt5$, độ dài đường sinh là $\sqrt{85}$ và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng $2\sqrt5$, lồng vào nhau như hình vẽ.

Thể tích của phần khối trụ không giao với khối nón (không tính phần nón nhô ra ngoài) bằng

Cho tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AD$, $BC$ theo thứ tự lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{1}{3}$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $MN$ và song song với $CD$. Khi đó thiết diện của tứ diện $ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ là

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( 1+i \right)z=7-3i$. Điểm $M$ biểu diễn cho số phức $z$ trong mặt phẳng tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( 8;-4;3 \right)$và đường thẳng $d:\,\left\{ \begin{aligned} & x=1+3t \\ & y=-2-2t \\ & z=t \\ \end{aligned} \right.$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$. Khi đó tọa độ của điểm $H$ là

Cho khối nón có chiều cao bằng $3$ và thể tích bằng $7\pi$. Diện tích xung quanh của khối nón đã cho bằng

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R=\dfrac{3}{\sqrt[3]{\pi }}$. Trong tất cả các khối trụ nội tiếp mặt cầu $\left( S \right)$, khối trụ có thể tích lớn nhất bằng

Gọi ${{z}_{1}}, \, {{z}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+2z+5=0$. Giá trị của ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}$ bằng

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+2-i \right|=1$. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=\left( 1+2i \right)z$ là đường tròn tâm $I$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( -4;\,1;\,1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,x-2y-z+4=0$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ có phươmg trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right): \, x+2y+2z+4=0$ và mặt cầu $\left( S \right): \, {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2{x}-2y-2{z}-1=0$. Tọa độ của điểm $M$ trên $\left( S \right)$ sao cho $d\left( M,\left( P \right) \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\left( d \right): \, \dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-1}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right): \, 2x+2y+z-1=0$. Gọi $M$ là điểm có hoành độ dương thuộc đường thẳng $\left( d \right)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $\left( P \right)$ bằng $6$. Tung độ của điểm $M$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, xét mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình dạng ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-2az+10a=0$. Tập hợp các giá trị thực của $a$ để $\left( S \right)$ có chu vi đường tròn lớn bằng $8\pi$ là