Chứng minh định lí SVIP

Hướng dẫn giải:

a) $xy$ // $x' y'$ nên $\widehat{xAB}=\widehat{ABy'}$ (hai góc so le trong). (1)

${AA}'$ là tia phân giác của $\widehat{xAB}$ nên: $\widehat{{A}_{1}}=\widehat{{A}_{2}}=\dfrac{1}{2} \widehat{{xAB}}$ (2)

${BB}'$ là tia phân giác của $\widehat{{ABy}'}$ nên: $\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}}=\dfrac{1}{2} \widehat{A B y'} $ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat{{A}_{2}}=\widehat{{B}_{1}}$.

Mà hai góc ở vị trí so le trong, nên ${AA}' // {BB}'$

b) $x y$ // $x' y'$ nên $\widehat{A_{1}}=\widehat{{AA}' {B}}$ (hai góc so le trong).

${AA}' / / {BB}'$ nên $\widehat{{A}_{1}}=\widehat{{AB}' {B}}$ (hai góc đồng vị).

Vậy $\widehat{{AA}' {B}}=\widehat{{AB}' {B}}$.

Hướng dẫn giải:

Theo đề bài:

$\widehat{{O}_{1}}=\widehat{{O}_{2}}$ ($OE$ là tia phân giác của $\widehat{AOC}) .$ (1)

$\widehat{{O}_{3}}=\widehat{{O}_{4}}$ ($OF$ là tia phân giác của $\widehat{DOB})$. (2)

Mà $\widehat{{AOD}}=\widehat{{COB}}$ (hai góc đối đỉnh).

Từ (1), (2), (3), ta có: $\widehat{{O}_{1}}+\widehat{{O}_{3}}+\widehat{{AOD}}=\widehat{{O}_{2}}+\widehat{{O}_{4}}+\widehat{{COB}}$ (4)

Mà $\left(\widehat{{O}_{1}}+\widehat{{O}_{3}}+\widehat{{AOD}}\right)+\left(\widehat{{O}_{2}}+\widehat{{O}_{4}}+\widehat{{COB}}\right)=360^{\circ}$. (5)

Do đó $\widehat{{O}_{1}}+\widehat{{O}_{3}}+\widehat{{AOD}}=180^{\circ}$.

Từ $(4)$ và $(5) \Rightarrow \widehat{{EOF}}=180^{\circ}$.

Vậy ${E}, {O}, {F}$ nằm trên một đường thẳng, hay tia ${OE}$ và tia ${OF}$ là hai tia đối nhau.

Hướng dẫn giải:

a) ${AC}$ và ${AD}$ là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: ${AC} \perp {AD}$.

${BC}$ và ${BD}$ là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: ${BC} \perp {BD}$.

b) Vì ${xy}$ // ${mn} \Rightarrow \widehat{{yAB}}=\widehat{{ABm}}$ (hai góc so le trong).

Vậy $\widehat{{A}_{3}}=\widehat{{B}_{2}}$ (cùng bằng $\dfrac{1}{2} \widehat{{yAB}}$ và $\dfrac{1}{2} \widehat{{ABm}}$).

Suy ra: ${AD} / / {BC}$.

$xy$ // ${mn} \Rightarrow \widehat{{xAB}}=\widehat{{ABn}}$ (hai góc so le trong).

Vậy $\widehat{{A}_{2}}=\widehat{{B}_{3}}$ (cùng bằng $\dfrac{1}{2} \widehat{{xAB}}$ và $\dfrac{1}{2} \widehat{{ABn}}$).

Suy ra: ${AC} / / {BD}$.

c) ${AD}$ // ${BD}$ (theo chứng minh b), ${BD} \perp {BC}$ (theo chứng minh a).

Vậy ${AD} \perp {BD}$ (${BD}$ vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường còn lại).

Suy ra: $\widehat{{ADB}}=90^{\circ}$.

Tương tự: ${AD}$ // ${BC}$ (theo chứng minh b); ${AD} \perp {AC}$ (theo chứng minh a).

Vậy ${AC} \perp {BC}$ (như trên).

Suy ra: $\widehat{{ACB}}=90^{\circ}$.

Hướng dẫn giải:

1) $\widehat{{BAE}}=\widehat{{EAC}}$ (giả thiết). (1)

Vì ${AB}$ // ${EF}$ nên $\widehat{{BAE}}=\widehat{{AEF}}$ (hai góc so le trong). (2)

Vì $AE$ // $FI$ nên $\widehat{EAC}=\widehat{IFC}$ (hai góc đồng vị). (3)

Vì ${AE}$ // ${FI}$ nên $\widehat{{AEF}}=\widehat{{EFI}}$ (hai góc so le trong). (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: $\widehat{{BAE}}=\widehat{{EAC}}=\widehat{{AEF}}=\widehat{{IFC}}=\widehat{{EFI}}$.

2) Từ chứng minh trên, ta có: $\widehat{{EFI}}=\widehat{{IFC}}$ mà ${FI}$ là tia nằm giữa hai tia ${FE}$ và ${FC}$.

Vậy ${FI}$ là tia phân giác của $\widehat{{EFC}}$.