Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
Bài tập tự luận: Góc SVIP
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $BD = a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \dfrac{a\sqrt6}2$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(SBC)$.
Hướng dẫn giải:
Trong $(SBC)$, dựng $BM \perp SC$ ($M \in SC$).
$BD \perp (SAC) \Rightarrow BD \perp SC \perp SC \perp (BDM) \Rightarrow SC \perp DM.$
Vậy $\widehat{\left((SBC),(SCD)\right)} = \widehat{BMD}$.
Xét $\Delta_v SAB:$ $SB^2 = SA^2 + AB^2 \Rightarrow SB = \dfrac{a\sqrt{10}}2$.
Xét $\Delta_v SAC:$ $SC^2 = SA^2 + AC^2 \Rightarrow SC = \dfrac{3a}{\sqrt2}$.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác $SBC$ ta có:
$\cos \widehat{BCS} = \dfrac{SC^2 + BC^2 - SB^2}{2.SC.BC} = \dfrac{\sqrt2}2\Rightarrow \widehat{BCS} = 45^{\circ}.$
$\Rightarrow \Delta BMC$ vuông cân tại $M\Rightarrow MD = MB = \dfrac a{\sqrt2}.$
Trong $\Delta BMD$, ta có $BM^2 + MD^2 = BD^2 \Rightarrow \Delta BMD$ vuông cân tại $M$ hay $\widehat{BMD} = 90^{\circ}$.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(SBC)$ bằng $90^{\circ}$.
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D$. Biết $AC = \sqrt3,$ $CD' = 2$, $D'A = \sqrt5$. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng $(ACD')$ và $(A'B'C'D')$.
Hướng dẫn giải:
$D$ là hình chiếu vuông góc của $D'$ trên $(ABCD)$.
$\Rightarrow \Delta ACD$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta ACD'$ trên mặt phẳng $(ABCD)$.
Do đó $\cos \alpha = \dfrac{S_{ACD}}{S_{ACD'}}$ với $\alpha$ là góc cần tìm.
Ta có $\left\{ \begin{aligned} & DA^2 + DC^2 = 3\\ & DC^2 + DD'^2 = 4\\ & DA^2 + DD'^2 = 5\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & DA^2 = 2\\ & DC^2 = 1\\ & DD'^2 = 3\\ \end{aligned}\right.$.
$\Rightarrow S_{ACD} = \dfrac12.DA.DC = \dfrac{\sqrt2}2$.
Dùng công thức Hê rông ta có $S_{ACD'} = \dfrac{\sqrt{11}}2$.
Vậy $\cos \alpha = \sqrt{\dfrac2{11}}$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2$; Cạnh bên $SA = 1$ vuông góc với đáy. $M$ là trung điểm của $CD$. Tính $\cos \alpha$, với $\alpha$ là góc tạo bởi hai đường thẳng $SB$ và $AM$.
Hướng dẫn giải:
Gọi $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$.
Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có $NP // SB$ và $PC // AM$.
Suy ra $\alpha = \widehat{NP, PC}$.
Ta có $NP = \dfrac{SB}2 = \dfrac{\sqrt5}2$ và $PC = AM = \sqrt 5$;\\ $NC = \sqrt{NA^2 + AC^2} = \sqrt{\dfrac14 + 8} = \dfrac{\sqrt{33}}2.$
$\Rightarrow \cos \widehat{NPC} = \dfrac{NP^2+PC^2-NC^2}{2.NP.PC} = \dfrac{\dfrac54 + 5 - \dfrac{33}4}{2.\dfrac{\sqrt5}2.\sqrt5} = -\dfrac25$.
Vậy $\cos \alpha = \dfrac25$.
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = a$, $SB = 2a$, $SA \perp AB$ và $SC \perp BC$. $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $MN$ và $(ABC)$. Tính côsin góc $\alpha$.
Hướng dẫn giải:
Dựng hình bình hành $ABCD$, mà $\Delta ABC$ vuông cân nên $ABCD$ là hình vuông.
Ta có $AB \perp AD$ và $AB \perp SA \Rightarrow AB \perp (SAD)$
$\Rightarrow AB \perp SD$.
Lại có $BC \perp CD$ và $SC \perp BC \Rightarrow BC \perp (SDC)$
$\Rightarrow BC \perp SD.$
Vậy $SD \perp (ABCD)$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AD \Rightarrow MH \perp (ABCD)$.
$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $(ABCD)$.
$\Rightarrow$ Góc giữa $MN$ với $(ABC)$ là $\alpha = \widehat{MNH}$.
Xét tam giác vuông $MNH$ có $\cos \alpha = \dfrac{HN}{MN} = \dfrac{HN}{\sqrt{HN^2 + MH^2}} = \dfrac{\sqrt6}{3}$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $BD = a$. Cạnh bên $SA = A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$, $N$ là trung điểm của $BC$ và $SD$. Tính $\tan \alpha$, biết $\alpha$ là góc giữa $MN$ và $(SAC)$.
Hướng dẫn giải:
Gọi $H$ và $K$ là trung điểm của $AD$ và $SC$ và $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Khi đó $NK // MH$.
$(MHNK) \cap (SAC) = OK$ và $(MHNK) \supset MN$.
Trong $(MHNK)$, gọi $E = MN \cap OK$ hay $MN \cap (SAC) = E.$
Gọi $I$ là trung điểm của $OC \Rightarrow MI \perp OC$.
Mà $SA \perp MI \Rightarrow MI \perp (SAC).$
$\Rightarrow EI$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ trên $(SAC)$.
$\Rightarrow \alpha = \widehat{EI, MN} = \widehat{MEI}$ (do $\Delta MEI$ vuông tại $I$).
Ta có $ME = \dfrac12.MN = \dfrac12.\sqrt{MH^2 + NH^2} = \dfrac12\sqrt{\dfrac{a^2}4 + a^2}= \dfrac{a\sqrt5}4$.
và $MI =\dfrac12 OB = \dfrac{a\sqrt2}4\Rightarrow EI =\sqrt{ME^2 - MI^2}=\dfrac{a\sqrt3}4$.
Vậy $\tan \alpha = \tan \widehat{MEI} = \dfrac{\frac{a\sqrt2}4}{\frac{a\sqrt3}4} = \dfrac{\sqrt6}3$.