Bài tập tự luận SVIP

Hướng dẫn giải:

 Biết $\widehat{O_1} - \widehat{O_2} = 70^{\circ}$

Suy ra $\widehat{O_1} = \widehat{O_2} + 70^{\circ}$

Mà $\widehat{O_1}$ và $\widehat{O_2}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{O_1} + \widehat{O_2} = 180^{\circ}$.

Thay $\widehat{O_1} = \widehat{O_2} + 70^{\circ}$ ta được $\widehat{O_2} + \widehat{O_2} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$

Hay $2.\widehat{O_2} = 110^{\circ}$

Suy ra $\widehat{O_2} = 55^{\circ}$.

Mà hai góc $\widehat{O_2}$ và $\widehat{O_4}$ đối đỉnh nên $\widehat{O_4} = 55^{\circ}$

 Biết $\widehat{O_1} + \widehat{O_2} + \widehat{O_3} = 325^{\circ}$.

Mà $\widehat{O_1}$ và $\widehat{O_2}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{O_1} + \widehat{O_2} = 180^{\circ}$.

Suy ra $\widehat{O_3} = 325^{\circ} - 180^{\circ} =145^{\circ}$.

Mà $\widehat{O_3}$ và $\widehat{O_4}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{O_4} = 180^{\circ} - 145^{\circ} = 35^{\circ}$.

Hướng dẫn giải:

Xét góc $xOy$ có góc kề bù là góc $xOz$.

Gọi tia $Ot$, $Ok$ lần lượt là tia phân giác của góc $xOy$ và góc $xOz$.

Khi đó, ta có:

$180^{\circ} = \widehat{xOy} + \widehat{xOz} = 2.\widehat{xOt} + 2.\widehat{xOk}$

Suy ra $\widehat{xOt} + \widehat{xOk} = 90^{\circ}$.

Vậy $Ot \perp Ok$.

Hướng dẫn giải:

Giả sử hai đường thẳng $xx'$, $yy'$ cắt nhau tại $O$ và $Ot$ là tia phân giác của góc $xOy$ và $Ot'$ là tia đối của tia $Ot$.

Ta chứng minh $Ot'$ là tia phân giác của góc $x'Oy'$.

Từ hình vẽ ta thấy:

$\widehat{O_1} = \widehat{O_3}$ (hai góc đối đỉnh);

$\widehat{O_2} = \widehat{O_4}$ (hai góc đối đỉnh).

Mà $Ot$ là tia phân giác của góc $xOy$ nên $\widehat{O_1} = \widehat{O_2}$.

Suy ra $\widehat{O_3} = \widehat{O_4}$.

Mà tia $Ot'$ nằm giữa hai tia $Ox'$ và $Oy'$ nên $Ot'$ là tia phân giác của góc $x'Oy'$.

Hướng dẫn giải:

Vì các tia $OC$ và $OD$ ở trong góc $\widehat{AOB}$ nên:

$\widehat{AOD}=\widehat{AOC}-\widehat{COD} = 90^{\circ}-\widehat{COD}$ (1)

$\widehat{BOC}=\widehat{BOD}-\widehat{COD} = 90^{\circ}-\widehat{COD}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra: $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$.

b) Ta có

$\widehat{AOB}+\widehat{COD}=(\widehat{AOC}+\widehat{BOC})+\widehat{COD}=\widehat{AOC}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}=\widehat{AOC}+\widehat{BOD}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$

c) Từ giả thiết, ta có: $\widehat{AOD}=2 \cdot \widehat{xOD}$.

Mà $\widehat{xOy}=\widehat{xOD}+\widehat{DOC}+\widehat{COy}=2 \cdot \widehat{xOD}+\widehat{DOC}=\widehat{AOD}+\widehat{DOC}=\widehat{AOC}=90^{\circ}$.

Vậy $Ox \perp Oy$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\widehat{zOy}=\widehat{xOy}+\widehat{yOz}=4 \cdot \widehat{yOz}+\widehat{yOz}=5 \cdot \widehat{yOz}$ (1).

Mà $\widehat{yOt}=90^{\circ} \Leftrightarrow 90^{\circ}= \widehat{yOz}+\widehat{zOt}=\widehat{yOz}+\dfrac{1}{2} \widehat{xOz}=3 . \widehat{yOz} \Leftrightarrow \widehat{yOz}=30^{\circ}$ (2) .

Thay (2) vào (1), ta được: $xOz=5 . 30^{\circ}=150^{\circ}$.

Vậy $\widehat{xOy}=150^{\circ}$.