Tổng hợp các bài bất đẳng thức, GTLN, GTNN thi vào lớp 10 ( 2019-2020)

1. (chuyên Phan Bội Châu)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=a+b+c+2.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+a^2}}\)

Tham khảo cách làm của các bạn trên OLM:

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

2. (môn Toán chung_ Chuyên Sư phạm Hà Nội)

Cho các số thực x, y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+13x^2+4y^2-26x+24y+46\)

Tham khảo cách làm của  bạn Đào Thu Hòa trên OLM:

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath

3.( Tỉnh Bắc Ninh)

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn  \(a^2+b^2=2\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 \(M=\dfrac{a^3+b^3+4}{ab+1}\)

Tham khảo cách làm của các bạn học sinh trên OLM :

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

4. ( chuyên Nguyễn Trãi_Hải Dương)

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

\(P=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)

Tham khảo cách làm cách làm của bạn Hoàng Đức Khải trên OLM:

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

5. (  Hải Dương)

Cho các số dương \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện: \(a+b+c=2019\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

\(P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ac+2a^2}\)

6. (chuyên Hòa Bình)

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy+zx+4yz=32

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=x^2+16y^2+16z^2\)

Tham khảo cách làm của bạn Trần Thùy Linh trên OLM:

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath

7.  ( chuyên Hoàng Văn Thụ)

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab

Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

Tham khảo cách làm của các bạn trên OLM:

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath

8.  ( tỉnh Vũng Tàu)

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn \(x+y\le3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{5xy}+\dfrac{5}{x+2y+5}\)

Tham khảo cách làm của bạn Hoàng Đức Khải trên OLM:

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath

9. ( Sở GD Hà Nam)

Cho a, b, c là các số thực dương bà thỏa mãn điều kiện abc=1

Chứng minh \(\dfrac{1}{2+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{2+c}\le1\)

Tham khảo cách làm của bạn tth_new trên OLM:

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath

10. ( chuyên Hùng Vương)

 Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge\dfrac{4a}{a+c}\)

Tham khảo cách làm của các bạn trên OLM:

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath

11. ( Sở Lai Châu)

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{ab}{a+b+2c}+\dfrac{bc}{b+c+2a}+\dfrac{ca}{a+c+2b}\le\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)

Tham khảo cách làm của các bạn trên OLM:

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath

12. ( Chuyên Lê Quý Đôn_ Bà Rịa- Vũng Tàu)

Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le3.\)

Tính giá trị lớn nhất của biể thức: \(P=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ac+3a^2+1}}\)

Tham khảo bài làm của các bạn trên OLM:

Toán nâng cao - Câu hỏi hay - Hỏi đáp và thảo luận về toán học - Giúp tôi giải toán - Học toán với OnlineMath

13. ( chuyên Hà Nam)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: \(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\le1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)

Tham khảo cách làm của các bạn trên OLM:

Toán nâng cao - Câu hỏi hay - Hỏi đáp và thảo luận về toán học - Giúp tôi giải toán - Học toán với OnlineMath

14. ( Nam Định)

 Xét các số x, y, z thay đổi thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3-3xyz=2\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)^2+4\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

Tham khảo cách làm của bạn Trần Phúc Khang trên OLM:

Toán nâng cao - Câu hỏi hay - Hỏi đáp và thảo luận về toán học - Giúp tôi giải toán - Học toán với OnlineMath

15. ( Thái Bình)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c+ab+bc+ac=6\)

Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge3\)

Tham khảo cách làm của các bạn trên OLM:

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

16. ( môn Toán chung _ chuyên Thái Bình)

Xét các số thực a, b, c ( a khác 0) sao cho:

Phương trình bậc  hai  \(ax^2+bx+c=0\) có hai nghiệm m, n thỏa mãn: \(0\le m\le1;0\le n\le1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\dfrac{2a^2-ac-2ab+bc}{a^2-ab+ac}\)

Tham khảo cách làm của bạn  Incursion  trên OLM:

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath

17. ( Lạng Sơn)

 Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a+b+c=1.

Chứng minh rằng: \(a+2b+c\ge4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)

Tham khảo cách làm của bạn Đào Thu Hòa trên OLM:

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath

18. ( Đồng Nai)

Cho ba số thực a, b, c. Chứng minh rằng: 

\(\left(a^2-bc\right)^3+\left(b^2-ca\right)^3+\left(c^2-ab\right)^3\ge3\left(a^2-bc\right)\left(b^2-ca\right)\left(c^2-ab\right)\)

Tham khảo cách làm của bạn Incursion trên OLM:

Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath

19. ( Đắk Lắk

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: \(x+2y+3z=2\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 \(S=\sqrt{\dfrac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\dfrac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\dfrac{3xz}{3xz+4y}}\)

20. ( Thanh Hóa)

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc=1\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{ab}{a^4+b^4+ab}+\dfrac{bc}{b^4+c^4+bc}+\dfrac{ca}{c^4+a^4+ac}\le1\)

21. ( Vĩnh Long)

Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa: \(x+y=1\)

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=2x^2-y^2+x+\dfrac{1}{x}+1\)

22.( Bình Định)

 Cho \(x,y\) là hai số thực thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}x>y\\xy=1\end{matrix}\right.\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\)

23. ( chuyên Trần Hưng Đạo_Bình Thuận)

Cho \(x,y,z\) thỏa mãn \(xyz=\dfrac{1}{2}\)

Chứng minh rằng: \(\dfrac{yz}{x^2\left(y+z\right)}+\dfrac{zx}{y^2\left(x+z\right)}+\dfrac{xy}{z^2\left(x+y\right)}\ge xy+yz+zx\)

24. ( Cao Bằng)

Cho  biểu thức \(P=\dfrac{mx-2019}{x^2}\) với \(x\ne0\).

Tính các số thực dương \(m\) để biểu thức \(P\) có giá trị lớn nhất là \(2019\).

25. ( chuyên Lâm Đồng)

Cho các số \(a,b,c,x,y,z\) đều khác 0 và thỏa mãn các điều kiện:

 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\) và \(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0\)

Chứng minh: \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\) 

26. (Ninh Bình)

 Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x+y+z\ge2019\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(T=\dfrac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\dfrac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\dfrac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\)

27. ( Quảng Bình)

Cho \(x,y\) là hai số thực dương thỏa mãn \(x+y=\dfrac{2020}{2019}\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{2019}{x}+\dfrac{1}{2019y}\)

28. ( sở GD Hà Nội) 

Cho biểu thức \(P=a^4+b^4-ab\), với \(a,b\) là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+ab=3\)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P\).

29. ( chuyên Tin_ sở GD Hà Nội)

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thay đổi thỏa mãn \(ab+bc+ca+abc=4\)

1. Chứng minh \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\)

2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(P=\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+4}\)

30. ( Bắc Giang)

Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn điều kiện \(x^2+y^2=1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\left(3-x\right)\left(3-y\right)\)

31. ( chuyên Tây Ninh)

Chứng minh: \(\left(x+y+z\right)^3+9xyz\ge4\left(x+y+z\right)\left(zy+yz+zx\right)\)

với \(x,y,z\) là các số thực không âm. Đẳng thức xảy ra khi nào?

32. ( chuyên Ninh Thuận)

Cho x, y là các số thực không âm sao cho \(x\le3\)  và \(y\le4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\dfrac{x}{x^2-2x+y+9}+\dfrac{y}{y^2-3y+x+9}+\dfrac{1}{x+y+1}\)

33. ( chuyên Bình Phước)

a) Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy\le1\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}\le\dfrac{2}{1+\sqrt{xy}}\)

b) Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\left(x+y\right)^3+4xy\le12\)

Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+2018xy\)

34. ( Quảng Ninh)

Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x+y+z\le1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{2019}{xy+yz+zx}\)

35. ( Hà Tĩnh)

Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a+b+3ab=1\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{12ab}{a+b}-a^2-b^2\)

36.  ( môn Toán chung_ chuyên KHTN Hà Nội)

Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy+yz+zx=1\)

Chứng minh rằng: 

\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)

37. ( môn Toán chuyên _ chuyên KHTN Hà Nội)

Cho \(x,y\) là số thực dương thỏa mãn điều kiện \(4x^2+4y^2+17xy+5x+5y\ge1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=17x^2+17y^2+16xy\)

38. ( Hưng Yên)

Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3xyz\).

Tìm giá trị lớn nhất của  biểu thức: 

\(P=\dfrac{x^2}{x^4+yz}+\dfrac{y^4}{y^4+xz}+\dfrac{z^2}{z^4+xy}\)

39. ( môn Toán chuyên _Hưng Yên ) 

Với \(x,y\) là  các số thực thỏa mãn \(\left(2+x\right)\left(y-1\right)=\dfrac{9}{4}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(A=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\).

40. ( môn Toán chung _ chuyên Lê Hồng Phong_Nam Định)

Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x+y+z=2019xyz\)

Chứng minh rằng: 

\(\dfrac{x^2+1+\sqrt{2019x^2+1}}{x}+\dfrac{y^2+1+\sqrt{2019y^2+1}}{y}+\dfrac{z^2+1+\sqrt{2019z^2+1}}{z}\le2019.2020xyz\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


26 bình luận

sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức:

Có thể bạn quan tâm


Mới nhất