Phương pháp quy nạp Toán học

I. Lí thuyết.

- Quy nạp Toán học là một phương pháp chứng minh Toán học dùng để chứng minh một mệnh đề về bất kỳ tập hợp nào được xếp theo thứ tự. Thông thường nó được dùng để chứng minh áp dụng cho tập hợp tất cả số tự nhiên.

- Quy nạp toán học là một hình chứng minh trực tiếp thường được thực hiện theo hai bước.

+) Bước đầu tiên hay còn gọi là bước cơ sở: Chứng minh mệnh đề đưa ra là đúng với số tự nhiên đầu tiên

+) Bước thứ hai  được gọi là bước quy nạp: Chứng minh nếu mệnh đề được giả định đúng cho bất kì số tự nhiên nào đó thì mệnh đề đó sẽ đúng với số tự nhiên tiếp theo. Nghĩa là dùng điều giả định là đúng để chứng minh mệnh đề tiếp theo.

=> Sẽ khẳng định mệnh đề đúng cho tất cả số tự nhiên.

- Nói một cách trực quan hơn chúng ta sẽ  giải quyết các bài toán như như sau:

+)  Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n\inℕ^∗\) chúng ta thực hiện các bước :

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k > 1 ( giả thiết quy nạp )

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

+) Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n\ge p\) ( p là số tự nhiên ). Chúng ta thực hiện các bước:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n=k\ge1\) ( giả thiết quy nạp ).

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.

II. Bài tập.

Dạng 1. Chứng minh đẳng thức.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng \(n\inℕ^∗\) thì \(1+3+5+...+\left(2n-1\right)=n^2\)  (1)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Kiểm tra với n = 1 

( 1 ) trở thành: \(1=1^2\) ( đúng)

=> (1) đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử ( 1 ) đúng với \(n=k\ge1\), tức là: 

\(1+3+5+...+\left(2k-1\right)=k^2\) ( giả thiết quy nạp )

Bước 3: Ta chứng minh ( 1 ) đúng với n = k + 1. Tức là chúng ta cần chứng minh:

\(1+3+5+...+\left[2\left(k+1\right)-1\right]=\left(k+1\right)^2\)

Thật vậy, ta có:

\(1+3+5+...+\left(2k-1\right)+\left[2\left(k+1\right)-1\right]\)

\(=\left[1+3+5+...+\left(2k-1\right)\right]+\left(2k+1\right)\)

\(=k^2+\left(2k+1\right)\)  ( Bước này áp dụng giả thiết quy nạp : \(1+3+5+...+\left(2k-1\right)=k^2\) )

\(=\left(k+1\right)^2\).

=> (1) đúng với n = k + 1.

Vậy ( 1 ) đúng với \(\forall n\inℕ^∗\).

Một số bài tập áp dụng:

 Chứng minh rằng với \(n\inℕ^∗\) thì 

1) \(2+5+8+...+\left(3n-1\right)=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\).

2) \(1+2+3+...+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\).

3) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{2^n-1}{2^n}\).

4) \(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\).

5) \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{3^n}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3^n-1}{3^n}\)

6) \(3+9+27+...+3^n=\dfrac{3^{n+1}-3}{2}\).

7) \(2+5+8+...+\left(3n-1\right)=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\).

8) \(2^2+4^2+6^2+...+\left(2n\right)^2=\dfrac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\).

9) \(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\).

10) \(1+4+7+...+\left(3n-2\right)=\dfrac{n\left(3n-1\right)}{2}\).

Dạng 2. Chứng minh bất đẳng thức:

Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\ge3\) ta có: \(3^n>n^2+4n+5\) (2)

Hướng giải:

Bước 1: Kiểm tra với n = 3

( 2 ) trở thành : \(3^3>3^2+4.3+5\) hay \(27>26\) đúng.

=> ( 2 ) đúng với n = 3.

Bước 2: Giả sự ( 2 ) đúng với \(n=k\ge3\).

Nghĩa là: \(3^k>k^2+4k+5\) ( giả thiết quy nạp )

Chứng minh ( 2 ) đúng với n = k + 1.

Bước 3: Nghĩa là chứng minh: \(3^{k+1}>\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)+5\)

Thật vậy:

Từ giả thiết quy nạp:

 \(3^k>k^2+4k+5\)

<=> \(3.3^k>3\left(k^2+4k+5\right)\)

<=> \(3^{k+1}>3k^2+12k+15\)

<=> \(3^{k+1}>k^2+2k+1+4k+4+5+2k^2+6k+5\)

<=> \(3^{k+1}>\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)+5+2k^2+6k+5>\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)+5\)

Do đó: \(3^{k+1}>\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)+5\)

=> ( 2 ) đúng với n = k + 1.

Vậy ( 2 ) đúng với \(\forall n\ge3\)

Ví dụ 3: Tìm các giá trị nguyên dương n, sao cho: \(3^n>2^n+7n\) ( 4 )

Hướng giải:

Trước khi làm bài ta thử các giá trị n = 1, n = 2, n = 3,... cho đến giá trị làm cho ( 4 ) đúng. Chú ý thường chỉ thử đến một con số hữu hạn nào đó rồi rút ra quy luật. 

n = 1, (4) trở thành: 3 > 2 + 7 ( sai )

n = 2, (4) trở thành: 9 > 4 + 14 ( sai )

n = 3 , (4) trở thành: 27 > 8 + 21 ( sai )

n = 4, (4) trở thành: 81 > 16 + 28 ( đúng)

tương tự n = 5, 6, ... đều thỏa mãn.

Đến bước này chúng ta đã đoán được \(n\ge4\), thì ( 4 )  đúng.

Bây giờ chúng ta đã đưa về bài toán : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\ge4\), ta có: \(3^n>2^n+7n\).

Cách làm theo

Bài tập làm thêm.

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\ge3\), ta luôn có: \(2^n>2n+1\)

2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\ge2\), ta luôn có: \(3^n>3n+1\).

3) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1, ta có: \(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n}>\dfrac{13}{24}\)

4) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n\(n\ge3\) , ta luôn có: \(n!>2^{n-1}\)

5) Tìm n để 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


1 bình luận

sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức:

Có thể bạn quan tâm