Lí thuyết ước và bội từ cơ bản đến nâng cao

 

1. Ước và bội:

a) Lí thuyết.

+) Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a.

KH: \(a⋮b\)

+) Tập hợp các bội của a là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho a.

KH: B (a)

+) Tập hợp các ước của a là tập hợp các số tự nhiên mà a chia hết.

KH: Ư(a)

b) Cách tìm ước và bội.

+) Muốn tìm bội của một số tự nhiên khác 0, ta nhân số đó với các số tự nhiên 0, 1, 2, 3...

+) Muốn tìm ước của một số tự nhiên a ( a>1), ta chia số a cho các số từ nhiên từ 1 đến a để xét xem a có thể chia hết cho số nào; khi đó các số ấy là ước của a.

2. Ước chung và bội chung.

a) Ước chung.

+) Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

+) Ước chung của hai số a và b được kí hiệu là: ƯC(a,b)

    Nếu c là một ước chung của a và b.

KH: \(c\inƯC\left(a,b\right)\)  khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}a⋮c\\b⋮c\end{matrix}\right.\)

+) Ước chung của các số \(a_1,a_2,...,a_k\) được kí hiệu là \(ƯC\left(a_1,a_2,...,a_k\right)\)

b) Bội chung.

+) Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

+) Bội chung của hai số a và b được kí hiệu là: BC(a,b)

    Nếu n là một bội chung của a và b.

KH: \(n\in BC\left(a,b\right)\) khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}n⋮a\\n⋮b\end{matrix}\right.\)

+) Bội chung của các số \(a_1,a_2,...,a_k\) được kí hiệu là \(BC\left(a_1,a_2,...,a_k\right)\)

3. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất.

a) Ước chung lớn nhất.

+) Ước chung lớn nhất của hai  số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của hai đó.

KH: ƯCLN(a,b) hoặc (a,b)

+) Nếu d là ước chung lớn nhất  của hai số a và b. 

KH: \(d=\left(a,b\right)\) 

và c là một ước bất kì của hai số a, b.

Khi đó: \(d⋮c\)

+) Ước chung lớn nhất của k số bất kì là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của k số đấy.

b) Bội chung nhỏ nhất.

+) Bội chung nhỏ nhất của hai số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của hai số đó.

KH: \(BCNN\left(a,b\right)\) hoặc [a,b]

+) Nếu m là bội chung nhỏ nhất của hai số a và b

\(KH:m=\left[a,b\right]\)

và n là một bội chung bất kì của hai số a và b

khi đó ta có: \(n⋮m\)

+) Bội chung nhỏ nhất của k số bất kì là số nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung của k số đó.

4. Một số tính chất.

a) (a,b)=d <=> Tồn tại p, q thuộc \(ℕ\) sao cho: a =d.p , b=d.q và (p, q)=1.

+) [a,b]=m <=> Tồn tại x, y thuộc \(ℕ\) sao cho: m = a.x , m =b.y (x, y)=1.

b) Số lượng các ước của một số:

Giả sử số tự nhiên a phân tích ra thừa số nguyên tố là:

\(a=p_1^{s_1}.p_2^{s_2}.p_3^{s_3}...p_n^{s_n}.\)

Thì khi đó số lượng các ước tự nhiên của a là :

\(\left(s_1+1\right)\left(s_2+1\right)\left(s_3+1\right)...\left(s_n+1\right)\)

c) Nếu một tích chia hết cho một số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p.

d) Nếu tích ab chia hết cho m trong đó b và m là hao số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.

e) Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho BCNN của m và n.

f) Tích của hai số bằng tích của BCNN với UCLN của chúng: a.b=(a,b).[a,b]

g) Ba số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau nếu (a, b)=1 ; (b, c)=1 ; (c,a)=1

5. Cách tìm ước chung lớn nhất của hai số:

Sử dụng thuật toán Ơ-clit để tìm UCLN (a, b) :

Chia a cho b có số dư là r:

+) Nếu r=0 thì UCLN (a,b) = b. Việc tìm ước chung lớn nhất dừng lại.

+) Nếu r >0, Ta chia tiếp b cho r, được số dư là \(r_1\) 

Tiếp tục nếu \(r_1=0\) thì \(r_1=UCLN\left(a,b\right)\). Dừng lại việc tìm ƯCLN

còn nếu \(r_1>0\) thì ta thực hiện phép chia r cho \(r_1\) và lập lại quá trình trên.

UCLN (a,b) là một số dư khác 0 nhỏ nhất trong dãy phép chia nói trên.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


1 bình luận

sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức:

Có thể bạn quan tâm