Giải phương trình bậc cao

I. Phương pháp đưa về dạng tích.

Biến đổi phương trình:

\(F\left(x\right)=0\Leftrightarrow f\left(x\right).g\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(x\right)=0\\g\left(x\right)=0\end{matrix}\right.\)

VD1: Giải phương trình:

 \(x\left(x+3\right)^2-4x=0\)(1) 

Giải: 

(1) \(\Leftrightarrow x\left(\left(x+3\right)^2-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Kết luận: Vậy phương trình có 3 ngiệm x=0; x=-1; x=-2

VD2: Giải phương trình:

\(x^3-x^2-21x+45=0\)

Giải: 

Nhẩm nghiệm: thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình.

Thực hiện phép chia đa thức: \(x^3-x^2-21x+45\) cho đa thức \(x-3\) ta có:

\(x^3-x^2-21x+45=\left(x-3\right)\left(x^2+2x-15\right)=\left(x-3\right)\left(x+5x-3x-15\right)=\left(x-3\right)^2\left(x+5\right)\)

Như vậy:

\(x^3-x^2-21x+45=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2\left(x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x-3\right)^2=0\\x+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-5.

Các bài tập rèn luyện.

Giải các phương trình sau:

a) \(x^3+2x^2+x+2=0\)

b) \(x^3+2x^2-x-2=0\)

c) \(x^3-8=\left(x-2\right)^2\left(2x+1\right)\)

d) \(x^4+3x^3-x-3=0\)

II. Phương pháp đặt ẩn phụ.

1. Phương trình trùng phương:  \(ax^4+bx^2+c=0,a\ne0\) (1)

Cách giải:

Đặt: \(t=x^2\left(t\ge0\right)\), Ta đưa về phương trình:

\(at^2+bt+c=0\) (2)

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) phụ thuộc vào số nghiệm khồn âm của phương trình (2).

VD1: Giải phương trình:

\(x^4+4x^2-5=0\) (1)

Giải: 

Đặt: \(x^2=t\left(t\ge0\right)\); phương trình (1) trở thành:

\(t^2+4t-5=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+5t-t-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t^2+5t\right)-\left(t+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t+5\right)-\left(t+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+5\right)\left(t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-5\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Với t =1, ta có: \(x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\)

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x=1 và x=-1.

Các bài tập rèn luyện:

Giải các phương trình:

a) \(x^4-10x^2+9=0\)

b) \(9x^4-6x^2+1=0\)

2. Phương trình đối xứng: \(ax^4\pm bx^3+cx^2\pm kbx+k^2a=0\left(k>0\right)\) (1)

Cách giải:

Chia hai vế của phương trình cho \(x^2\left(x\ne0\right)\), ta có phương trình:

\(a\left(x^2+\dfrac{k^2}{x^2}\right)\pm b\left(x+\dfrac{k}{x}\right)+c=0\) (2)

Đặt: \(t=x+\dfrac{k}{x}\) với \(\left|t\right|\ge2\sqrt{k}\)

Ta có: \(x^2+\dfrac{k^2}{x^2}=\left(x+\dfrac{k}{x}\right)^2-2k=t^2-2k\)

Phương trình (2) trở thành:

\(a\left(t^2-2k\right)\pm bt+c=0\)

VD1:Giải phương trình:

 \(x^4-3x^3+2x^2-3x+1=0\)(1)

Giải:

Chia cả hai vế của phương trình (1) cho \(x^2\left(x\ne0\right)\)

Ta có phương trình:

\(x^2-3x+2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+2=0\) (2)

Đặt: \(x+\dfrac{1}{x}=t\)\(t\ge2\)

khi đó: \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2=t^2-2\)

Phương trình (2) trở thành:

\(t^2-2-3t+2=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-3t=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\left(loại\right)\\t=3\end{matrix}\right.\)

Với t=3 ta có:

\(x+\dfrac{1}{x}=3\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\\x-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{5}+3}{2}\\x=\dfrac{-\sqrt{5}+3}{2}\end{matrix}\right.\)

Kết luận:...

Bài tập rèn luyện:

Giải các phương trình sau:

a) \(x^4-4x^3-3x^2-4x+1=0\)

b) \(x^4+5x^3-12x^2+5x+1=0\)

c) \(2x^4-21x^3+74x^2-105x+50=0\)

d) \(x^4-3x^3-8x^2-12x+16=0\)

3.  Phương trình có dạng: \(\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right)\left(x+d\right)=e\) (1), trong đó: a+b = c + d

Phương trình (1) \(\Leftrightarrow\left[x^2+\left(a+b\right)x+ab\right]\left[x^2+\left(c+d\right)x+cd\right]=e\)

Đặt: \(t=x^2+\left(a+b\right)x+ab\)

hoặc \(t=x^2+\left(c+d\right)x+cd\)

hoặc: \(t=x^2+\left(a+b\right)x\)

VD1: Giải phương trình:

 \(\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)=12\)(1)

Giải:

Đặt: \(t=x^2+x+1\), ta có: \(x^2+x+2=t+1\)

Phương trình (1) trở thành:

 \(t\left(t+1\right)=12\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-12=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+2.t.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}+12\)

\(\Leftrightarrow\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{49}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}\\t+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-4\end{matrix}\right.\)

+) Với \(t=3\); ta có:

 \(x^2+x+1=3\)\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=1\end{matrix}\right.\)

+) Với \(t=-4\), ta có:

\(x^2+x+1=-4\); phương trình vô nghiệm

Vậy có hai nghiệm là x=-2 và x=1

VD2: Giải phương trình:

 \(\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-5\right)\left(x-6\right)=180\)(1)

Giải: 

(1) \(\Leftrightarrow\left[\left(x+2\right)\left(x-5\right)\right]\left[\left(x+3\right)\left(x-6\right)\right]=180\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x-10\right)\left(x^2-3x-18\right)=180\)

Đặt: \(x^2-3x-10=t\) , Ta có phương trình:

\(t\left(t-8\right)=180\)

\(\Leftrightarrow t^2-8t=180\)

\(\Leftrightarrow\left(t-4\right)^2=196\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=18\\t=-10\end{matrix}\right.\)

+) Với t=18 ta có:

\(x^2-3x-10=18\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=7\\x=-4\end{matrix}\right.\)

+) Với t =-10 ta có:

\(x^2-3x-10=-10\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\)

Kết luận: Phương trình có 4 nghiệm: x=-4; x=0; x=3; x=7

Bài tập rèn luyện:

Giải các phương trình sau:

a) \(\left(x-4\right)\left(x-5\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)=1680\)

b) \(x\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)=24\)

c) \(x\left(x+1\right)\left(x^2+x+1\right)=42\)

d) \(\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x-3\right)=12\)

4) Phương trình có dạng: \(\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right)\left(x+d\right)=ex^2,\)(1) trong đó: ab = cd.

Phương trình (1) \(\Leftrightarrow\left[x^2+\left(a+b\right)x+ab\right]\left[x^2+\left(c+d\right)x+cd\right]=ex^2\)

Chia cả hai vế cho \(x^2\)

Ta có phương trình mới:

\(\left[x+\dfrac{ab}{x}+\left(a+b\right)\right]\left[x+\dfrac{cd}{x}+\left(c+d\right)\right]=e\)

Đặt : \(t=x+\dfrac{ab}{x}\)

hoặc \(t=x+\dfrac{ab}{x}+a+b\)

hoặc: \(t=x+\dfrac{cd}{x}+c+d\)

VD1\(4\left(x+5\right)\left(x+6\right)\left(x+10\right)\left(x+12\right)=3x^2\)

5. Phương trình có dạng: \(\left(x+a\right)^4+\left(x+b\right)^4=c\) (1)

Đặt: \(x=t-\dfrac{a+b}{2}\) ta đưa về phương trình trùng phương.

VD1: Giải phương trình:

\(\left(x+3\right)^4+\left(x+5\right)^4=16\)

Đặt: \(x=t-\dfrac{3+5}{2}=t-4\)

Ta có phương trình:
\(\left(t-1\right)^4+\left(t+1\right)^4=16\)

\(\Leftrightarrow t^4+6t^2-14=0\)

Quay về dạng 1. Phương trình trùng phương.

Các bài tập áp dụng:

a) \(\left(x-2\right)^4+\left(x-3\right)^4=1\)

b) \(\left(x+1\right)^4+\left(x-3\right)^4\)

c) \(\left(x-2,5\right)^4+\left(x-1,5\right)^4=1\)

d) \(\left(x^2+2x-1\right)^4+\left(x^2+2x+5\right)^4=626\)

 

 

 

 

 


11 bình luận

sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức:

Có thể bạn quan tâm