Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

I. Các kiến thức cần nhớ eoeo!

Với mọi \(x,y\) :

a) \(\left|x\right|\ge0,\left|x\right|\ge x\ge-\left|x\right|\)

b) \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x và y cùng dấu hay \(xy\ge0\)

c) \(\dfrac{\left|x\right|}{\left|y\right|}=\left|\dfrac{x}{y}\right|\) với y khác 0

d) \(\left|x\right|.\left|y\right|=\left|xy\right|\)

II. Các dạng toán banhqua.

Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối. 

Cách giải: Đưa bài toán về dạng  \(\left|A\right|+a\ge a\) với \(A\) là biểu thức chứa biến và \(a\) là hằng số.

VD1: ​Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

\(A=2+\left|x+5\right|\)

Giải:

Ta có: \(\left|x+5\right|\ge0\) với mọi x

Khi đó: \(2+\left|x+5\right|\ge2+0=2\)

=> \(A\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x+5=0\) 

                                      hay   \(x=-5\)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất : minA =2 tại x=-5

Bài tập làm thêm:leu

\(A_1=1,7+\left|x+1,6\right|\)

\(B_1=5+\left|10-x\right|\)

\(C_1=\left|2x+2,8\right|-3,5\)

\(D_1=10\left|5x-10\right|+10\)

\(E_1=200009\left|x-1\right|-1\)

\(F_1=-8,1+19991999\left|10-x\right|\)

VD2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

\(B=1,01-\left|x-3\right|\)

Giải:

Ta có: \(\left|x-3\right|\ge0\), với mọi x

=> \(-\left|x-3\right|\le0\)

=> \(1,01-\left|x-3\right|\le1,01-0=1,01\)

=> \(B\le1,01\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x-3=0\)

                                       hay x = 3

Vậy B đạt giá trị lớn nhất: max B =1,01 tại x=3

Bài tập làm thêm:

\(A_2=1,5-\left|x+6\right|\)

\(B_2=-2006-\left|x-8\right|\)

\(C_2=-\left|10,2-3x\right|-14\)

\(D_2=10-10\left|4-x\right|\)

VD3:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

 \(C=5+\dfrac{-15}{1,5\left|10x-10\right|+3}\)

Giải:

Ta có: \(\left|10x-10\right|\ge0\) 

=> \(1,5\left|10x-10\right|+3\ge1,5.0+3=3\)

=> \(\dfrac{15}{1,5\left|10x-10\right|+3}\le\dfrac{15}{3}=5\)

=> ​ ​\(\dfrac{-15}{1,5\left|10x-10\right|+3}\ge-5\)

=> \(5+\dfrac{-15}{1,5\left|10x-10\right|+3}\ge5+\left(-5\right)=0\)

=> \(C\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 10x-10=0

                                        hay 10x=10

                                        hay      x=1

Vậy giá trị nhỏ nhất của C: min C =0 tại x=1

Bài tập làm thêm:ok

\(A_3=20+\dfrac{-10}{12345\left|5x+7\right|+15}\)

\(B_4=\dfrac{32}{31}-\dfrac{32}{2\left|6x-8\right|+31}\)

\(C_3=-\dfrac{5}{1997\left|x-1998\right|-1}+25\)

\(D_3=-\dfrac{6}{2007\left|x-2\right|-3}-1\)

VD4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 \(D=-6-\dfrac{24}{2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6}\)

Giải:

Ta có: \(\left|x-2y\right|\ge0;\left|2x+1\right|\ge0\) với mọi x, y

=> \(2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6\ge2.0+3.0+6=6\)

=> \(\dfrac{24}{2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6}\le\dfrac{24}{6}=4\)

=> \(-\dfrac{24}{2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6}\ge-4\)

=> \(-6-\dfrac{24}{2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6}\ge-6-4=-10\)

=> \(D\ge-10\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x-2y=0\) và \(2x+1=0\)

                                       hay \(x=2y\) và \(x=-\dfrac{1}{2}\)

                                      hay \(x=-\dfrac{1}{2}\) và \(y=-\dfrac{1}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của D : min D =-10 tại \(x=-\dfrac{1}{2}\) và \(y=-\dfrac{1}{4}\)

Bài tập làm thêm:leu

\(A_4=-10-\dfrac{15}{2\left|x+1\right|+15\left|y-2\right|+3}\)

\(B_4=\dfrac{-75}{2\left|x-1\right|+15\left|2y-2\right|-3}+1\)

\(C_4=-19+\dfrac{-1997}{2007\left|3x-12\right|+15\left|4y-4\right|-1997}\)

\(D_4=\dfrac{2007}{2007}+\dfrac{-2007}{-2007+\left|2007x-2007\right|+\left|2007-2007y\right|}\)oho

VD5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 \(E=\dfrac{21\left|5x-5\right|+10}{3\left|5x-5\right|+5}\)

Giải:

\(E=\dfrac{21\left|5x-5\right|+10}{3\left|5x-5\right|+5}=\dfrac{7\left(3\left|5x-5\right|+5\right)-35+10}{3\left|5x-5\right|+5}=7-\dfrac{25}{3\left|5x-5\right|+5}\)

làm tương tự như ví dụ 2.

Bài tập làm thêm: banh

\(A_5=\dfrac{9\left|10x-20\right|}{3\left|10x-20\right|+5}\)

\(B_5=\dfrac{6\left|z-10\right|+14}{2\left|z-10\right|+14}\)

\(C_5=\dfrac{-15\left|t+7\right|-68}{3\left|t+7\right|+12}\)

VD6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(F=\dfrac{3\left|x\right|+2}{4\left|x\right|-5}\)

Giải:

Ta có:

 \(\dfrac{4}{3}.F=\dfrac{4}{3}.\dfrac{3\left|x\right|+2}{4\left|x\right|-5}=\dfrac{12\left|x\right|+8}{12\left|x\right|-15}=\dfrac{12\left|x\right|-15+15+8}{12\left|x\right|-15}=1+\dfrac{23}{12\left|x\right|-15}\)

Do: \(\left|x\right|\ge0\) nên \(12\left|x\right|-15\ge12.0-15=-15\Rightarrow\dfrac{23}{12\left|x\right|-15}\le\dfrac{23}{-15}\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{23}{12\left|x\right|-15}\le1+\dfrac{23}{-15}=1-\dfrac{23}{15}=-\dfrac{8}{15}\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}F\le-\dfrac{8}{15}\)

\(\Rightarrow F\le-\dfrac{2}{5}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=0

Vậy giá trị lớn nhất của F : max \(F=-\dfrac{2}{5}\) tại x=0

Bài tập làm thêmhiuhiu:

\(A_6=\dfrac{2\left|x\right|+3}{3\left|x\right|-1}\)

\(B_6=\dfrac{2\left|4x-5\right|+12}{\left|4x-5\right|+4}\)

\(C_6=\dfrac{\left|2y+7\right|+13}{2\left|2y+7\right|+6}\)

\(D_6=\dfrac{32+15\left|15-x\right|}{8+6\left|15-x\right|}\)

VD7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(G=5+\dfrac{11}{4\left|3x-3\right|+11}\)

Giải:

Ta có: \(\left|3x-3\right|\ge0\)

\(\Rightarrow4\left|3x-3\right|+11\ge4.0+11=11\)

\(\Rightarrow\dfrac{11}{4\left|3x-3\right|+11}\le\dfrac{11}{11}=1\)

\(\Rightarrow G=5+\dfrac{11}{4\left|3x-3\right|+11}\le5+1=6\)

Dấu "=" xảy ra tại | 3x-3|=0 

                        hay 3x-3=0

                        hay 3x=3

                         hay x=1

Vậy max G =6 tạ x=1

Bài tập làm thêm:yeu:

\(A_7=25+\dfrac{100}{4\left|3x+1\right|+50}\)

\(B_7=\dfrac{-5}{9}+\dfrac{10}{3\left|21-15x\right|+2}\)

\(C_7=19+\dfrac{7}{3\left|x+3y\right|+\left|5x-10\right|+1}\)

\(D_7=-\dfrac{6}{5}+\dfrac{14}{5\left|6y-8\right|+\left|3x-1\right|+35}\)

 

Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:

VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 \(A=\left|x+5\right|+2-x\)

Giải: 

\(\left|x+5\right|\ge x+5\)

=>\(A=\left|x+5\right|+2-x\ge x+5+2-x=7\) 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x+5\ge0\)

                                         hay \(x\ge-5\)

Vậy min A=7 tại \(x\ge-5\)

Bài tập làm thêm:

\(A_1=\left|x+6\right|+10-x\)

\(B_1=\left|5-x\right|+x-2\)

\(C_1=\left|2x-1\right|+2x+10\)

\(D_1=\left|5x-6\right|+1+5x\)

VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 \(B=6\left|x-2\right|+6x-6\)

Giải:

Ta có: \(B=6\left|x-2\right|+6x-6=\left|6x-12\right|+6x-6=\left|12-6x\right|+6x-6\)

Vì \(\left|12-6x\right|\ge12-6x\)

=> \(B\ge12-6x+6x-6=6\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(12-6x\ge0\)

Vậy min B =6 đạt tại các giá trị x thỏa mãn: \(12-6x\ge0\)

Bài tập làm thêm :

\(A_2=2\left|x-3\right|+2x+5\)

\(B_2=7+7x+7\left|x+7\right|\)

\(C_2=4\left|x+5\right|+4x-4\)

\(D_4=3\left|1-x\right|+4-3x\)

VD3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  

\(C=-\left|x-5\right|+x+5\)

Giải:

Ta có: \(\left|x-5\right|\ge x-5\)

=> \(-\left|x-5\right|\le-\left(x-5\right)=5-x\)

=> \(C=-\left|x-5\right|+x+5\le5-x+x+5=10\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x-5\ge0\)

                                         hay \(x\ge5\)

Vậy max C =10 tại những giá trị \(x\ge5\)

Bài tập làm thêm:

\(A_3=-\left|x-4\right|+x+7\)

\(B_3=-\left|2x+12\right|+18-2x\)

\(C_3=-\left|5-5x\right|+5x+10\)

VD4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(D=-2\left|x+6\right|+18-2x\)

Giải:

\(D=-\left|2x+12\right|+18-2x\) Làm tương tự như trên.

Bài tập làm thêm:

\(A_4=9x-9-9\left|x+1\right|\)

\(B_4=-2\left|x-5\right|+2x+6\)

Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(ab\ge0.\)

VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

\(A=\left|x+2\right|+\left|2-x\right|\)

Giải:

Bài tập làm thêm

VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(B=\left|x+5\right|+\left|6+x\right|\)

Giải:

Bài tập làm thêm.

VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(C=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|\)

Giải:

Bài tập làm thêm.

VD4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(D=-\left|x+1\right|-\left|x-2\right|+6\)

Giải:

Bài tập làm thêm.

VD5:  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

\(E=-\left|5x-5\right|-\left|x-2\right|-\left|5x-15\right|+4\)

Giải:

Bài tập làm thêm.

VD6: Tìm giá trị bé nhất 

 


Bạn phải đăng nhập để tham gia bình luận.
14 bình luận

sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức: