Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

I. Các kiến thức cần nhớ eoeo!

Với mọi \(x,y\) :

a) \(\left|x\right|\ge0,\left|x\right|\ge x\ge-\left|x\right|\)

b) \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x và y cùng dấu hay \(xy\ge0\)

c) \(\dfrac{\left|x\right|}{\left|y\right|}=\left|\dfrac{x}{y}\right|\) với y khác 0

d) \(\left|x\right|.\left|y\right|=\left|xy\right|\)

II. Các dạng toán banhqua.

Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối. 

Cách giải: Đưa bài toán về dạng  \(\left|A\right|+a\ge a\) với \(A\) là biểu thức chứa biến và \(a\) là hằng số.

VD1: ​Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

\(A=2+\left|x+5\right|\)

Giải:

Ta có: \(\left|x+5\right|\ge0\) với mọi x

Khi đó: \(2+\left|x+5\right|\ge2+0=2\)

=> \(A\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x+5=0\) 

                                      hay   \(x=-5\)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất : minA =2 tại x=-5

Bài tập làm thêm:leu

\(A_1=1,7+\left|x+1,6\right|\)

\(B_1=5+\left|10-x\right|\)

\(C_1=\left|2x+2,8\right|-3,5\)

\(D_1=10\left|5x-10\right|+10\)

\(E_1=200009\left|x-1\right|-1\)

\(F_1=-8,1+19991999\left|10-x\right|\)

VD2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

\(B=1,01-\left|x-3\right|\)

Giải:

Ta có: \(\left|x-3\right|\ge0\), với mọi x

=> \(-\left|x-3\right|\le0\)

=> \(1,01-\left|x-3\right|\le1,01-0=1,01\)

=> \(B\le1,01\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x-3=0\)

                                       hay x = 3

Vậy B đạt giá trị lớn nhất: max B =1,01 tại x=3

Bài tập làm thêm:

\(A_2=1,5-\left|x+6\right|\)

\(B_2=-2006-\left|x-8\right|\)

\(C_2=-\left|10,2-3x\right|-14\)

\(D_2=10-10\left|4-x\right|\)

VD3:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

 \(C=5+\dfrac{-15}{1,5\left|10x-10\right|+3}\)

Giải:

Ta có: \(\left|10x-10\right|\ge0\) 

=> \(1,5\left|10x-10\right|+3\ge1,5.0+3=3\)

=> \(\dfrac{15}{1,5\left|10x-10\right|+3}\le\dfrac{15}{3}=5\)

=> ​ ​\(\dfrac{-15}{1,5\left|10x-10\right|+3}\ge-5\)

=> \(5+\dfrac{-15}{1,5\left|10x-10\right|+3}\ge5+\left(-5\right)=0\)

=> \(C\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 10x-10=0

                                        hay 10x=10

                                        hay      x=1

Vậy giá trị nhỏ nhất của C: min C =0 tại x=1

Bài tập làm thêm:ok

\(A_3=20+\dfrac{-10}{12345\left|5x+7\right|+15}\)

\(B_4=\dfrac{32}{31}-\dfrac{32}{2\left|6x-8\right|+31}\)

\(C_3=-\dfrac{5}{1997\left|x-1998\right|-1}+25\)

\(D_3=-\dfrac{6}{2007\left|x-2\right|-3}-1\)

VD4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 \(D=-6-\dfrac{24}{2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6}\)

Giải:

Ta có: \(\left|x-2y\right|\ge0;\left|2x+1\right|\ge0\) với mọi x, y

=> \(2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6\ge2.0+3.0+6=6\)

=> \(\dfrac{24}{2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6}\le\dfrac{24}{6}=4\)

=> \(-\dfrac{24}{2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6}\ge-4\)

=> \(-6-\dfrac{24}{2\left|x-2y\right|+3\left|2x+1\right|+6}\ge-6-4=-10\)

=> \(D\ge-10\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x-2y=0\) và \(2x+1=0\)

                                       hay \(x=2y\) và \(x=-\dfrac{1}{2}\)

                                      hay \(x=-\dfrac{1}{2}\) và \(y=-\dfrac{1}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của D : min D =-10 tại \(x=-\dfrac{1}{2}\) và \(y=-\dfrac{1}{4}\)

Bài tập làm thêm:leu

\(A_4=-10-\dfrac{15}{2\left|x+1\right|+15\left|y-2\right|+3}\)

\(B_4=\dfrac{-75}{2\left|x-1\right|+15\left|2y-2\right|-3}+1\)

\(C_4=-19+\dfrac{-1997}{2007\left|3x-12\right|+15\left|4y-4\right|-1997}\)

\(D_4=\dfrac{2007}{2007}+\dfrac{-2007}{-2007+\left|2007x-2007\right|+\left|2007-2007y\right|}\)oho

VD5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 \(E=\dfrac{21\left|5x-5\right|+10}{3\left|5x-5\right|+5}\)

Giải:

\(E=\dfrac{21\left|5x-5\right|+10}{3\left|5x-5\right|+5}=\dfrac{7\left(3\left|5x-5\right|+5\right)-35+10}{3\left|5x-5\right|+5}=7-\dfrac{25}{3\left|5x-5\right|+5}\)

làm tương tự như ví dụ 2.

Bài tập làm thêm: banh

\(A_5=\dfrac{9\left|10x-20\right|}{3\left|10x-20\right|+5}\)

\(B_5=\dfrac{6\left|z-10\right|+14}{2\left|z-10\right|+14}\)

\(C_5=\dfrac{-15\left|t+7\right|-68}{3\left|t+7\right|+12}\)

VD6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(F=\dfrac{3\left|x\right|+2}{4\left|x\right|-5}\)

Giải:

Ta có:

 \(\dfrac{4}{3}.F=\dfrac{4}{3}.\dfrac{3\left|x\right|+2}{4\left|x\right|-5}=\dfrac{12\left|x\right|+8}{12\left|x\right|-15}=\dfrac{12\left|x\right|-15+15+8}{12\left|x\right|-15}=1+\dfrac{23}{12\left|x\right|-15}\)

Do: \(\left|x\right|\ge0\) nên \(12\left|x\right|-15\ge12.0-15=-15\Rightarrow\dfrac{23}{12\left|x\right|-15}\le\dfrac{23}{-15}\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{23}{12\left|x\right|-15}\le1+\dfrac{23}{-15}=1-\dfrac{23}{15}=-\dfrac{8}{15}\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}F\le-\dfrac{8}{15}\)

\(\Rightarrow F\le-\dfrac{2}{5}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=0

Vậy giá trị lớn nhất của F : max \(F=-\dfrac{2}{5}\) tại x=0

Bài tập làm thêmhiuhiu:

\(A_6=\dfrac{2\left|x\right|+3}{3\left|x\right|-1}\)

\(B_6=\dfrac{2\left|4x-5\right|+12}{\left|4x-5\right|+4}\)

\(C_6=\dfrac{\left|2y+7\right|+13}{2\left|2y+7\right|+6}\)

\(D_6=\dfrac{32+15\left|15-x\right|}{8+6\left|15-x\right|}\)

VD7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(G=5+\dfrac{11}{4\left|3x-3\right|+11}\)

Giải:

Ta có: \(\left|3x-3\right|\ge0\)

\(\Rightarrow4\left|3x-3\right|+11\ge4.0+11=11\)

\(\Rightarrow\dfrac{11}{4\left|3x-3\right|+11}\le\dfrac{11}{11}=1\)

\(\Rightarrow G=5+\dfrac{11}{4\left|3x-3\right|+11}\le5+1=6\)

Dấu "=" xảy ra tại | 3x-3|=0 

                        hay 3x-3=0

                        hay 3x=3

                         hay x=1

Vậy max G =6 tạ x=1

Bài tập làm thêm:yeu:

\(A_7=25+\dfrac{100}{4\left|3x+1\right|+50}\)

\(B_7=\dfrac{-5}{9}+\dfrac{10}{3\left|21-15x\right|+2}\)

\(C_7=19+\dfrac{7}{3\left|x+3y\right|+\left|5x-10\right|+1}\)

\(D_7=-\dfrac{6}{5}+\dfrac{14}{5\left|6y-8\right|+\left|3x-1\right|+35}\)

 

Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:

VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 \(A=\left|x+5\right|+2-x\)

Giải: 

\(\left|x+5\right|\ge x+5\)

=>\(A=\left|x+5\right|+2-x\ge x+5+2-x=7\) 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x+5\ge0\)

                                         hay \(x\ge-5\)

Vậy min A=7 tại \(x\ge-5\)

Bài tập làm thêm:

\(A_1=\left|x+6\right|+10-x\)

\(B_1=\left|5-x\right|+x-2\)

\(C_1=\left|2x-1\right|+2x+10\)

\(D_1=\left|5x-6\right|+1+5x\)

VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 \(B=6\left|x-2\right|+6x-6\)

Giải:

Ta có: \(B=6\left|x-2\right|+6x-6=\left|6x-12\right|+6x-6=\left|12-6x\right|+6x-6\)

Vì \(\left|12-6x\right|\ge12-6x\)

=> \(B\ge12-6x+6x-6=6\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(12-6x\ge0\)

Vậy min B =6 đạt tại các giá trị x thỏa mãn: \(12-6x\ge0\)

Bài tập làm thêm :

\(A_2=2\left|x-3\right|+2x+5\)

\(B_2=7+7x+7\left|x+7\right|\)

\(C_2=4\left|x+5\right|+4x-4\)

\(D_4=3\left|1-x\right|+4-3x\)

VD3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  

\(C=-\left|x-5\right|+x+5\)

Giải:

Ta có: \(\left|x-5\right|\ge x-5\)

=> \(-\left|x-5\right|\le-\left(x-5\right)=5-x\)

=> \(C=-\left|x-5\right|+x+5\le5-x+x+5=10\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x-5\ge0\)

                                         hay \(x\ge5\)

Vậy max C =10 tại những giá trị \(x\ge5\)

Bài tập làm thêm:

\(A_3=-\left|x-4\right|+x+7\)

\(B_3=-\left|2x+12\right|+18-2x\)

\(C_3=-\left|5-5x\right|+5x+10\)

VD4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(D=-2\left|x+6\right|+18-2x\)

Giải:

\(D=-\left|2x+12\right|+18-2x\) Làm tương tự như trên.

Bài tập làm thêm:

\(A_4=9x-9-9\left|x+1\right|\)

\(B_4=-2\left|x-5\right|+2x+6\)

Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(ab\ge0.\)

VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

\(A=\left|x+2\right|+\left|2-x\right|\)

Giải:

Bài tập làm thêm

VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(B=\left|x+5\right|+\left|6+x\right|\)

Giải:

Bài tập làm thêm.

VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(C=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|\)

Giải:

Bài tập làm thêm.

VD4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(D=-\left|x+1\right|-\left|x-2\right|+6\)

Giải:

Bài tập làm thêm.

VD5:  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

\(E=-\left|5x-5\right|-\left|x-2\right|-\left|5x-15\right|+4\)

Giải:

Bài tập làm thêm.

VD6: Tìm giá trị bé nhất 

 


3 bình luận

sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức:

Có thể bạn quan tâm