Các bài toán thực tế suy luận logic được sưu tầm phần 1

1. Bài toán chia tài sản

Một người đàn ông giàu có nói với người vợ đang mang thai nếu sinh con trai sẽ chia cho đứa bé \(\dfrac{1}{2}\) tài sản  nếu sinh con giá thì chia cho \(\dfrac{2}{3}\). Vậy nếu bà vợ sinh đôi một trai một giá thì tài sản sẽ được chia như thế nào?

Bài giải sau đây là sưu tầm:

Bình luận: Bài toán này không thể giải được về mặt Toán học vì nếu xem tổng tài sản của người bố là 1 phần thì tổng tài sản của con trai và con gái  \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{6}>1\) như vậy thì ông bố sẽ không có đủ tài sản để chia cho hai đứa con.

Và nếu có thể thay đổi các phân số để tổng của chúng \(< 1\) thì bất cứ ai cũng có thể chia được và sẽ không tạo ra sự bàn luận về bài toán này! 

Ví dụ: 

+) Con trai nhận \(\dfrac{1}{2}\) tài sản, con gái nhận \(\dfrac{1}{3}\) tài sản thì \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}< 1\) và khi đó tài sản sẽ được chia làm 6 phần , con trai 3 phần và con gái 2 phần.

+) Con trai nhận \(\dfrac{1}{4}\)   tài sản, con gái nhận  \(\dfrac{1}{3}\) tài sản thì \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{12}< 1\)  và khi đó tài sản sẽ được chia làm 12 phần , con trai 3 phần và con gái 4 phần.

Quay lại bài toán ban đầu nếu chúng ta là Tòa án mà giải quyết bài toán thực tế:" Phân chia tài sản theo di chúc cho 1 con trai và  1 con gái" thì làm thế nào? Không nhẽ lại nói bài toán này không chia được và xung toàn bộ tài sản vào " Quỹ quốc gia" ( Cách này khá là hay :)))))).

Trong trường hợp bài toán đã nêu, để xử lí điều kiện phi logic: Tổng tài sản của con trai và con gái ​ ​\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{6}>1\) ta có hai cách tiếp cận sau:

(i) Cách tiếp cận 1: Nếu lấy tổng tài sản làm thước đo trung gian thì tỷ lệ tài sản của con trai và con giá là: \(\dfrac{1}{2}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{4}\)  thì sẽ có vô số cách chia sau: " Chia tài sản thành \(n\ge7\) phần bằng nhau tùy ý, con trai nhận 3 phần và con gái nhận 4 phần" . Nhưng khi đó cả 3 đại lượng là tài sản con trai, tài sản con gái, và tài sản còn lại thay đổi theo n tức là cách tiếp cận này không có giá  trị thực tiễn.

(ii) Còn nếu hiểu thông tin của người cha theo " logic mềm " : Ông ấy không lường trước được chuyện sinh đôi 1 trai ,1 gái và ý tưởng của ông ta là chia tài sản theo tương quan tỷ lệ giữa tài sản được nhận của con trai và của con gái với tài sản còn lại thì ta có lời giải sau:

Lời giải: 

Tài sản con trai bằng \(\dfrac{1}{2}\) tổng tài sản nên tài sản nên tài sản còn lại cũng bằng \(\dfrac{1}{2}\)tổng tài sản vì thế tài sản con trai bằng tổng tài sản còn lại (1).

Tài sản con gái bằng \(\dfrac{2}{3}\) tổng tài sản nên tài sản còn lại bằng \(\dfrac{1}{3}\) tổng tài sản vì thế tài sản con gái gấp 2 lần số tài sản còn lại (2).

Từ (1); (2) suy ra tài sản con gái gấp đôi tài sản con trai và gấp đôi tài sản còn lại. Từ đó ta suy ra được cách chia tài sản của ông bố là 4 phần bằng nhau: Con gái được chia 2 phần; con trai được chia 1 phần.

Kết luận:

Bài toán trên gần  giống với bài toán cổ chim ngựa trong di chúc của ông bố cho các con: " Một ông bố viết di chúc chia tất cả 17 con ngựa cho 3 đứa con: đứa lớn nhất được \(\dfrac{1}{2}\) tổng số ngựa, đứa thứ hai được \(\dfrac{1}{3}\) tổng số ngựa và đứa út được \(\dfrac{1}{9}\) tổng số ngựa " Vì 17 không chia hết cho các mẫu số nên các con không thể chia theo di chúc mà đưa ra tòa phán xử. Khi đó Tòa đã mượn thêm 1 con ngựa để có 18 con ngựa và lần lượt 3 người con nhận được 9;6;2 con ngựa tương ứng với \(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{9}\) trong tổng số 18 con ngựa. Vì \(9+6+2=17\) nên vẫn thừa dư 1 con để trả lại.

Như vậy, bài toán chia tài sản sai về mặt Toán học bởi tổng tài sản thừa kế \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{6}>1\) và bài toán chia ngựa sai bởi tổng giá trị thiếu \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}< \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=1\). Việc mượn thêm một con ngựa rồi thực hiện phép chia sẽ làm cho mỗi người con sẽ nhận được số ngựa lớn hơn so với việc chia ngay theo tỉ lệ từ 17 và quan trọng hơn số ngựa được chia ra là số nguyên nên họ dễ dàng đồng ý với cách chia của Tòa. Đây là giải pháp tối ưu cho các bài toán thực tế, dù sai logic về mặt toán học.

2. Bài toán đoán ngày sinh nhật

Một chàng trai hỏi ngày sinh nhật của một cô gái mới quen. Cô gái trả lời: " Hai ngày trước em 17 tuổi, nhưng năm tới em sẽ 20 tuổi". Bạn hãy giúp chàng trai đoán ngày sinh nhật của cô gái.

Bình luận: Khi đọc xong đề bài chúng ta có cảm giác đề bài hết sức vô lí vì tuổi của một người bất kì ở năm liền sau với năm liền trước chỉ cách nhau 2 tuổi, không thể cách 3 tuổi được. Điều hay nhất của bài toán nằm ở một nút thắt rất tinh vi:  Cô gái có duy nhất 1 ngày của năm liền sau có khoảng cách 3 tuổi với năm liền trước". Để làm sáng tỏ điều này chúng ta có các nhận xét sau đây:

+) Tháng 12 có 31 ngày và ngày cuối năm là 31-12

+) Ngày sinh nhật là ngày cuối cùng của hiện tại,

+) Ngày liền sau sinh nhật là ngày đầu tiên của tuổi hiện tại cộng 1

+) Nghĩ đến ý tưởng: " Ngày cuối cùng của tuổi 17 và ngày đầu tiên của tuổi 20" 

Từ những nhận xét trên ta có lời giải sau đây.

Lời giải:

Để tạo ra khoảng cách lớn nhất giữa tuổi của năm liền sau với năm liền trước thì thời điểm hiện tại mà cô gái trò chuyện với chàng trai phải là một trong các ngày đầu năm và sinh nhật của cô gái là một trong các ngày cuối năm. Xét 2 khả năng:

+) Nếu ngày hiện tại \(\ge2\)/1 thì dễ thấy toàn bộ các ngày trong năm liền sau ( năm tới ) tuổi của cô gái không vượt qua 19

+) Nếu ngày hiện tại là 1/1 thì trước đó 2 ngày là 30/12 năm liền trước, đây là ngày sinh nhật và là ngày cuối ở tuổi 17 của cô gái. Trong năm hiện tại từ ngày 1/1 đến ngày 30/1 là cô gái 19 tuổi và ngày 31/12 là ngày đầu tiên cũng là ngày duy nhất trong năm cô gái bước sang tuổi 20.

Vậy sinh nhật của cô gái là 30/12

3. Bài toán bố chở con đi thăm bà: 

Bố và hai con trai đi thăm bà nội cách thành phố 33 km. Bố đi xe Honda có thể chạy với vận tốc 25 km/h và nếu chở thêm một người thì có vận tốc là 20km/h ( xe không thể chở 3). Hai anh em có thể đi bộ với vận tốc 5km/h. Hãy tìm cách để họ đến thăm bà sau khoảng thời gian ngắn nhất có thể( thời gian được tính từ lúc đi đến lúc tất cả đều về nhà bà).

Lời giải:

Bố chở con trai thứ nhất đi trong vòng 1,2 giờ; được 24 km rồi bỏ con trai thứ nhất xuống rồi quay lại đón con trai thứ 2.

Lúc này con trai thứ hai cũng đã đi được 1,2 x5+0,6x5=9 (km), còn người con thứ nhất đi được 24+0,6x5 =27 (km)

Hai bố con cách nhà bà 33-9=24 (km)

Người con thứ nhất cách nhà bà: 33-27 =6 (km)

Như vậy họ sẽ tốn thêm 24/20 =6/5 =1,2 ( giờ) để cùng đến nhà bà .

Vậy tổng thời gian đến nhà bà là: 1,2+0,6+1,2=3 giờ

4. Bài toán tìm người nói dối.

Có 5 người ngồi xung quanh các bàn tròn và tất cả họ đều khẳng định " cả hai người ngồi cạnh tôi đều nói dối". Bạn biết  rằng người nói dối luôn nói dối, còn người không phải là người nói dối thì luôn nói thật. Trên bàn này mọi người đều biết ai nói dối, ai không.

Hỏi có bao nhiêu người nói dối quanh bàn?

Lời giải:

Bên cạnh người nói dối có ít nhất một người nói thật, bên cạnh người nói thật có hai người nói dối. Do đó quanh bàn phải có đủ cả hai loại người.

Do hai người nói thật không thể ngồi cạnh nhau nên có tối đa hai người nói thật.

Trường hợp có một người nói thật sẽ không xảy ra, vì khi đó sẽ có 4 người nói dối kề cạnh nhau, và 2 người ở giữa họ sẽ không có người ngồi bên cạnh nói thật.

Vậy phải có hai người nói thật và 3 người nói dối.

Về mặt logic, phủ định của câu nói " hai người cạnh tôi đều là nói dối" là " khồng phải hai người cạnh tôi đều nói dối". Như vậy, bên cạnh người nói dối có thể là hai người nói thật nhưng cũng có thể là một người nói dối, một người nói thật.

Họ có thể sắp xếp như sau:

dối- thật- dối- thật -dối.

5. Bài toán tìm vợ

Frank quen biết 5 người phụ nữ: Amy; Betty; Chery; Doris và Elaine

Trong số này:

a. 3 phụ nữ dưới 30 tuổi và 2 phụ nữ trên 30 tuổi

b. 3 phụ nữ là hộ lý và 2 phụ nữ là giáo viên

c. Amy và Cherl cùng trong một nhóm tuổi.

d. Doris và Elaine khác nhóm tuổi.

e. Betty và Elaine có nghề nghiệp giống nhau

f. Cheryl và Doris có nghề nghiệp khác nhau.

h. Trong 5 người này Frank sẽ cưới người giáo viên trên 30 tuổi

Hỏi Frank sẽ cưới ai?

Hướng giải:

Vì D và E khác nhóm tuổi nên trong số họ phải có ít nhất một người dưới 30 tuổi. 

Vì A và C cùng nhóm tuổi mà nhóm tuổi trên 30 chỉ còn môt người nên A và C cùng nhóm tuổi dươi 30

Lý luận hoàn toàn tương tự thì B và E phải là hộ lý.

Theo yêu cầu về nhóm tuổi thì A và C bị loại. Theo yêu cầu về nghề nghiệp thì E và B bị loại. Vậy chỉ còn D là có thể

Vậy F cưới D

6. Bài toán thang máy

Một tòa nhà chung cư có 4 thang máy. Mỗi thang có 3 điểm dừng tại các tầng trong đó tính cả tầng 1.

Với mỗi cặp 2 tầng bất kỳ, luôn có ít nhất 1 thang máy dừng ở cả hai tầng đó.

Tính số tầng tối đa của tòa nhà?

Hướng dẫn giải:

Tất cả có 12 lần thang máy dừng.

Giả sự tòa nhà có 6 tầng. Theo nguyên lí Dirichlet luôn có tầng M nào đó mà nhiều nhất là hai thang máy dừng ở tầng M.

Mỗi thang máy kết nối tầng M với hai tầng khác, do đí có nhiều nhất 4 trong số 5 tầng khác kết nối với tầng M.

Suy ra có ít nhất 1 tầng không kết nối với tầng M, loại.

Từ đó, nếu có lớn hơn 6 tầng thì không thể sắp xếp các thang máy thỏa mãn.

Do đó có nhiều nhất là 5 tầng.

Bây giờ ta chỉ ra trường hợp 4 thang máy kết nối 5 tầng thỏa mãn yêu cầu bài toán : Thang máy thứ nhất dừng ở các tầng 1; 4; 5 thang máy thứ hai dừng ở các tầng 2; 4; 5 thang máy thứ 3 dừng ở các tầng 3; 4; 5 và thang máy thứ 3 dừng ở các tầng 1; 2; 3

7. Bài toán tìm tiền giả.

Có 27 đồng tiền gồm 13 đồng vàng và 14 đồng bạc, trong đó có đúng một một đồng giả.

Ta biết rằng nếu đồng giả là một đồng vàng thì nó nhẹ hơn đồng vàng thật, còn nếu đồng giả là một đồng bạc thì nó nặng hơn đồng bạc thật.

Sử dụng cân đĩa không có quả cân. Hãy phát hiện đồng giả sau ba lần cân. ( Các đồng vàng thật có khối lượng như nhau; các đồng bạc thật có khối lượng như nhau)

Lời giải:

Ta chia đồng tiền vàng thành 3 nhóm: có hai nhóm 4 đồng vàng và  5 đồng bạc và một nhóm 5 đồng vàng và 4 đồng bạc.

Ta cân hai nhóm đầu nếu cân bằng thì đồng giả nằm ở bên nhóm thứ 3

Nếu không cân bằng thì đồng giả có thể nằm ở nhóm 4 đồng vàng phía nhẹ hơn hoặc  5 đồng bạc phía nặng hơn.

Giả sử đồng giả nằm ở nhóm 4 đồng vàng, 5 đồng bạc  ( trường hợp đồng giả nằm ở nhóm 5 đồng vàng, 4 đồng bạc giải quyết tương tự).

Ta lại chia thành 3 nhóm: hai nhóm có một đồng vàng, 2 đồng bạc và 1 nhóm có hai đồng vàng, 1 đồng bạc.

Ta đem hai nhóm đầu tiên lên cân

Nếu cân bằng thì đồng giả nằm ở nhóm 3. Lúc này ta chỉ cân 2 đồng vàng của nhóm này lên thì biết được đồng nào giả

Nếu không cân bằng thì bên nặng hơn có đồng bạc là giả  hoặc là bên nhẹ hơn có đồng vàng là giả. Ta chỉ cần cân hai đồng bạc bên nặng hơn lên là biết đồng bào giả.

8. Bài toán thay lốp ô tô.

Một chiếc ô tô có 4 bánh. Mỗi lốp ở hai bánh trước được sử dụng tối đa 300 km, mỗi lốp ở hai bánh sau sử dụng được tối đa 450 km. Nếu có thể thay đổi vị trí giữa lốp trước và lốp sau thì quãng đường lớn nhất xe có thể đi với một bộ 4 lốp là bao nhiêu?

Lời giải:

Giả sử khi ô tô đi được a km thì ta thực hiện đổi hai lốp trước và 2 lốp sau cho nhau. Sau khi đổi lốp, ô tô đi thêm được b km. Ta có các nhận xét sau:

- Tại thời điểm đổi lốp thì lốp trước bị hao mòn \(\dfrac{a}{300}\) lốp và lốp sau bị hao mòn \(\dfrac{a}{450}\).

- Từ thời điểm thay lốp đến thời điểm ô tô đi được quãng đường tối đa thì lốp trước bị hao mòn thêm \(\dfrac{b}{300}\); lốp sau bị hao mòn thêm \(\dfrac{b}{450}\).

- Để ô tô chạy được quãng đường xa nhất thì cả 4 lốp mòn tối đa cùng một lúc.

Từ các nhận xét trên ta có phương trình:

\(\dfrac{a}{300}+\dfrac{b}{450}=\dfrac{a}{450}+\dfrac{b}{300}=1\).

Giải phương trên ta có: \(a=b=180\left(km\right)\)

Vậy quãng đường lớn nhất xe có thể đi  là 360 km.

( Còn rất nhiều bài toán thực tế hay nếu bạn nào có hứng thú đọc và tìm hiểu thì hãy comment " Tôi thích đọc"   mình sẽ tiếp tục cập nhật) 

 

 

 

 


3 bình luận

sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức:

Có thể bạn quan tâm