Bất đẳng thức Schur

I. Bất đẳng thức Schur.

Trong toán học bất đẳng thức Schur được phát biểu rằng:

Với a, b, c là các số thực không âm và một số thực t ta có bất đẳng thức sau:

\(a^t\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^t\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^t\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hoặc hai trong ba số a, b, c bằng nhau và số còn lại bằng 0.

Trong trường hợp t là một số nguyên dương chẵn thì bất đẳng thức  trên đúng với mọi số thực a, b, c ( nghĩa là a, b, c không cần điều kiện không âm )

Chứng minh:

Do vai trò của \(a,b,c\)  trong bài toán là như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử: \(a\ge b\ge c\).

TH1: \(t\ge0\), biến đổi vế trái của bất đẳng thức:

\(a^t\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^t\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^t\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)\(=\left(a-b\right)\left[a^t\left(a-c\right)-b^t\left(b-c\right)\right]+c^t\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)

Vì \(a\ge b\ge c\)

 \(\Rightarrow a^t\ge b^t\) và \(a-c\ge b-c\)  \(\Rightarrow a^t\left(a-c\right)-b^t\left(b-c\right)\ge0\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left[a^t\left(a-c\right)-b^t\left(b-c\right)\right]\ge0\)

Có:  \(c-a\le0;b-a\le0\Rightarrow c^t\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left[a^t\left(a-c\right)-b^t\left(b-c\right)\right]+c^t\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a^t\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^t\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^t\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\)

TH2: t<0, tương tự:

\(VT=\left(b-c\right)\left[c^t\left(a-c\right)-b^t\left(a-b\right)\right]+a^t\left(a-b\right)\left(a-c\right)\ge0\)

Như vậy có điều chứng minh với mọi t.

Tổng quát hóa bất đẳng thức Schur.

Với x, y, z là các số thực không âm, khi đó: \(x\ge y\ge z\) và \(a\ge b\ge c\) thì : 

\(x\left(a-b\right)\left(a-c\right)+y\left(b-c\right)\left(b-a\right)+z\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\)

Cóp nguồn: Wikipedia

 

 

 

 

 

 


3 bình luận

sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức:

Có thể bạn quan tâm