a/

Xét tg vuông BHC và tg vuông CKB có

BC chung

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân)

=> tg BHC = tg CKB (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

Ta có

AB=AC (cạnh bên tg cân)

tg BHC = tg CKB (cmt) => BK = CH

=> AB-BK = AC-CH => AK = AH

=> tg AHK cân tại A

b/

Xét tg cân AKH có

\(\widehat{AKH}=\widehat{AHK}=\dfrac{\left(180^o-\widehat{A}\right)}{2}\)

Xét tg cân ABC có

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{AKH}=\widehat{ABC}\) Hai góc này ở vị trí đồng vị => BC//HK

b/

\(C_{MCE}=MC+ME+CE\)

Mà ME=MF (cmt)

\(\Rightarrow C_{MCE}=MC+MF+CE=MC+MD+DF+CE=\) 

\(=CD+DF+CE\) Mà DF=BE (gt)

\(\Rightarrow C_{MCE}=CD++BE+CE=CD+BC=2.BC\) không đổi

 

 

a/

Ta có

\(\widehat{MBC}+\widehat{CBN}=\widehat{MBN}=90^o\)

Xét tg NBC có

NC=NB (gt) => tg NBC cân tại N \(\Rightarrow\widehat{CBN}=\widehat{BCN}\)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}+\widehat{CBN}=\widehat{MBC}+\widehat{BCN}=90^o\) (1)

Ta có

\(\widehat{ABN}+\widehat{ABM}=\widehat{MBN}=90^o\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{BAM}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{ABN}+\widehat{ABM}=\widehat{ABN}+\widehat{BAM}=90^o\) (2)

Cộng 2 vế của (1) với (2) ta có

\(\widehat{MBC}+\widehat{BCN}+\widehat{ABN}+\widehat{BAM}=90^o+90^o=180^o\)

Xét tg ABC có

\(180^0-\widehat{ABC}=\left(\widehat{BCN}+\widehat{BAM}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}+\widehat{ABN}+180^o-\widehat{ABC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}+\widehat{ABN}=\widehat{ABC}\)

Mà 

\(\widehat{MBC}+\widehat{ABN}+\widehat{ABC}=\widehat{MBN}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ABC}=90^o\Rightarrow\widehat{ABC}=45^o\)

b/

Từ N dựng đt vuông góc với BD ta có

tg NBC cân tại N (cmt) 

\(\Rightarrow\widehat{HNC}=\widehat{HNB}\) (trong tg cân đường cao hạ từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh) (3)

Xét tg vuông MCD có

\(\widehat{MDC}+\widehat{MCD}=90^o\)

Xét tg vuông HNC có

\(\widehat{HNC}+\widehat{HCN}=90^o\)

Mà \(\widehat{MCD}=\widehat{HCN}\) (góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{MDC}=\widehat{HNC}\) (4)

Ta có

\(NH\perp BD;NB\perp BM\Rightarrow\widehat{HNB}=\widehat{MBD}\) (Góc có cạnh tương ứng vuông góc) (5)

Từ (3) (4) (5) \(\Rightarrow\widehat{MDC}=\widehat{MBD}\) => tg MBD cân tại M => MB=MD

Mà tg MAB cân => MB=MA

=> MD=MA => tg MAD vuông cân tại M

Xét tg vuông MAD có

\(AD=\sqrt{MD^2+MA^2}=\sqrt{MD^2+MD^2}=\sqrt{2}.MD\)

 

 

 

 

a/ Xét tg AEM và tg BCM có

MA=MB (gt); ME=MC (gt)

\(\widehat{AME}=\widehat{BMC}\) (góc đối đỉnh)

=> tg AEM = tg BCM (c.g.c)

b/

Ta có

NA=NC(gt); NF=NB(gt)

\(\Rightarrow\dfrac{NA}{NC}=\dfrac{NF}{NB}=1\) => AF//BC (Talet đảo)

c/

C/m tương tự như câu b ta cũng có AE//BC

=> A; E; F thẳng hàng (Từ 1 điểm ngoài 1 đường thẳng cho trước chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)

Ta có

AE//BC (cmt) 

MA=MB (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{BC}=\dfrac{MA}{MB}=1\)

Ta có

AF//BC (cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{AF}{BC}=\dfrac{NA}{NC}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{BC}=\dfrac{AF}{BC}\Rightarrow AE=AF\)

 

 

a/

Ta có

\(AD\perp BC\left(gt\right),OM\perp BC\) => AH//OM (cung vuông góc với BC)

\(BE\perp AC\left(gt\right);ON\perp AC\) => BE//ON (cùng vuông góc với AC)

\(\Rightarrow\widehat{MON}=\widehat{AHB}\) (góc có cạnh tương ứng //) (1)

Ta có

MB=MC(gt); NA=NC(gt) => MN là đường trung bình của tg ABC

=> MN//AB

ON//BE (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{ONM}=\widehat{HBA}\) (góc có cạnh tương ứng //) (2)

Từ (1) và (2) => tg OMN đồng dạng với tg HAB (g.g.g)

b/

Nối G với O và nối G với H

Nối O với H cắt BN tại G'

Ta có

MN là đường trung bình của tg ABC \(\Rightarrow MN=\dfrac{AB}{2}\Rightarrow\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{1}{2}\)

tg OMN đồng dạng với tg HAB

\(\Rightarrow\dfrac{ON}{BH}=\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{1}{2}\)

Ta có

ON//BE (cmt) \(\Rightarrow\dfrac{G'N}{G'B}=\dfrac{ON}{BH}=\dfrac{1}{2}\) (Talet)

Mà do G là trọng tâm của tg ABC \(\Rightarrow\dfrac{GN}{GB}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow G'\equiv G\) Hay nói cách khác là O; G; H thẳng hàng

Xét tg GOM và tg GHA có

\(\widehat{OGM}=\widehat{HGA}\) (góc đối đỉnh)

AD//OM (cmt) \(\Rightarrow\widehat{GMO}=\widehat{GAH}\) (góc so le trong)

=> tg GOM đồng dạng với tg GHA

c/ Ba điểm O, G, H thẳng hàng đã c/m ở trên

Ta có

BE//ON (cmt) \(\Rightarrow\dfrac{OG}{GH}=\dfrac{ON}{BH}=\dfrac{1}{2}\left(Talet\right)\)

\(\Rightarrow GH=2OG\)

 

 

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}xABxAD}{ABxAD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{ABD}=\dfrac{1}{2}xS_{ABCD}=\dfrac{1}{2}x12=6cm^2\)

Hai tg AED tg EBD có chung đường cao hạ từ D->AB và AE=BE nên

\(S_{AED}=S_{EBD}=\dfrac{1}{2}xS_{ABD}\)

Hai tg FAE và tg FED có chung đường cao từ E->AD và FA=FD nên

\(S_{FAE}=S_{FED}=\dfrac{1}{2}xS_{AED}=\dfrac{1}{2}x\dfrac{1}{2}xS_{ABD}=\dfrac{1}{4}xS_{ABD}\)

\(\Rightarrow S_{EFDB}=S_{FED}+S_{EBD}=\dfrac{1}{4}xS_{ABD}+\dfrac{1}{2}xS_{ABD}=\dfrac{3}{4}xS_{ABD}=\dfrac{3}{4}x6=4,5cm^2\)

 

Đặt số chia là a và thương là b ta có

\(\dfrac{200-13}{a}=b\Rightarrow b=\dfrac{187}{a}\Rightarrow187⋮a\)

\(\Rightarrow a=\left\{1;11;17\right\}\Rightarrow b=\left\{187;17;11\right\}\)

\(\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}+...+\dfrac{1}{99.100}\)

\(\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}+...+\dfrac{1}{99.100}=\)

\(=\dfrac{4-3}{3.4}+\dfrac{5-4}{4.5}+\dfrac{6-5}{5.6}+...++\dfrac{100-99}{99.100}=\)

\(=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{3}\)

12 hộp sữa đắt bằng 6 hộp bơ nên 2 hộp sữa đắt bằng 1 hộp bơ

10 hộp sữa đắt bằng

10:2=5 hộp bơ

340000 đồng là giá tiền của

5+9=14 hộp bơ

Giá tiền mỗi hộp bơ là

340000:14

Từ đó tính ra số tiền mỗi hộp sữa

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=y^2\)

+ Nếu \(y=0\)

\(\Rightarrow x\left(x+1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)

+ Nếu \(y\ne0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y^m\\x+1=y^n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x\left(x+1\right)=y^m.y^n=y^{m+n}=y^2\Rightarrow m+n=2\) (1)

Ta có

\(y^n-y^m=\left(x+1\right)-x=1\)

\(\Leftrightarrow y^n\left(1-y^{m-n}\right)=1.1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^n=1\\y^{m-n}=0\end{matrix}\right.\) (2)

Kết hợp (1) và (2)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^n=1\\y^{m-n}=0\\m+n=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=0\\y=0\\m=2\end{matrix}\right.\) mâu thuẫn với đk \(y\ne0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\\y=0\end{matrix}\right.\)