\(=3^3.3^{1996}+7.7^{1996}=3^3.\left(3^4\right)^{499}+7.\left(7^4\right)^{499}\)

Ta có

\(3^4\) có tận cùng là 1 => \(\left(3^4\right)^{499}\) có tận cùng là 1

=> \(3^3.\left(3^4\right)^{499}=27.\left(3^4\right)^{499}\) có tận cùng là 7

\(7^4\) có tận cùng là 1 => \(\left(7^4\right)^{499}\) có tận cùng là 1 

=> \(7.\left(7^4\right)^{499}\) có tận cùng là 1 =>

\(\Rightarrow3^{1999}-7^{1997}\) có tận cùng là 0 \(\Rightarrow3^{1999}-7^{1997}⋮5\)

a/

Xét tg vuông AHO và tg vuông BHO có

AH=BH; OH chung => tg AHO = tg BHO (hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau)

=> OA=OB (1)

=> tg OAB cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\) (góc ở đáy tg cân) (2)

Ta có

AM+AN=AB (gt) => AN=AB-AM

BM=AB-AM

=> AN=BM (3)

Từ (1) (2) (3) => tg BOM = tg AON (c.g.c)

b/

Từ O dựng đường thẳng d vuông góc với MN

=> d là đường cao của tg OMN

Ta có

tg BOM = tg AON (cmt) => OM=ON => tg OMN cân tại O

=> d là đường trung trực của tg OMN hay d là đường trung trực của MN (Trong tg cân đường cao xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung trực)

Ta có OH là đường trung trực của AB cố định; AO là đường phân giác của \(\widehat{A}\) không đổi => O cố dịnh

=> d luôn đi qua O cố định

Phương trình bậc 2 có dạng  a+b+c=0

\(\Rightarrow x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{13}{5}\)

\(E>1+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{10.11}=\)

\(=1+\dfrac{3-2}{2.3}+\dfrac{4-3}{3.4}+\dfrac{5-4}{4.5}+...+\dfrac{11-10}{10.11}=\)

\(=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{11}=\)

\(=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{11}>1\)

Ta có

\(E< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{9.10}=\)

\(=1+\dfrac{2-1}{1.2}+\dfrac{3-2}{2.3}+\dfrac{4-3}{3.4}+...+\dfrac{10-9}{9.10}=\)

\(=1+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}=\)

\(=2-\dfrac{1}{10}< 2\)

\(\Rightarrow1< E< 2\)

a/

Xét tg vuông AHB và tg vuông AHC có

AB = AC (cạnh bên tg cân)

HB = HC (trong tg cân đường cao hạ từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến)

=> tg AHB = tg AHC (Hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

b/

Xét tg ABC có

HB = HC (cmt); HK//AB (gt) => KA=KC (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Xét tg vuông AHC có

KA=KC (cmt)

\(\Rightarrow HK=KA=KC=\dfrac{AC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg AHK cân tại K

c/

Xét tg vuông ABC có

HB=HC (cmt); KA=KC (cmt) => I là trọng tâm của tg ABC 

=> CI là trung uyến của tg ABC (trong tg 3 đường trung tuyến đồng quy) \(\Rightarrow M\in CI\) => C, I, M thẳng hàng

Sorry!

b/

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{16}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow a^2=20\Rightarrow a=\pm2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{8}\Rightarrow\dfrac{\pm2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{b}{8}\Rightarrow b=\pm4\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{4}=\dfrac{c}{16}\Rightarrow\dfrac{\pm2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{c}{16}\Rightarrow c=\pm8\sqrt{5}\)

a/

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}\Rightarrow y=\dfrac{4x}{3}\)(1)

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{z}{5}\Rightarrow z=\dfrac{5x}{3}\)(2)

Thay các giá trị của y và x vào \(x.y.z=480\)

\(\Rightarrow x.\dfrac{4x}{3}.\dfrac{5x}{3}=480\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{20x^3}{3}=480\Leftrightarrow x^3=216\Rightarrow x=6\) 

Thay \(x=6\) vào (1) \(\Rightarrow y=\dfrac{4x}{3}=\dfrac{4.6}{3}=8\)

Thay \(x=6\) vào (2) \(\Rightarrow z=\dfrac{5x}{3}=\dfrac{5.6}{3}=10\)

b/

Ta có

\(\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{8}\Rightarrow\dfrac{a^2}{16}=\dfrac{b^2}{64}=\dfrac{a^2-b^2}{-48}=\dfrac{-60}{-48}=\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{4}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow a=5\)

\(\Rightarrow\dfrac{b}{8}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow b=10\)

\(\Rightarrow\dfrac{c}{16}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow c=20\)