Chứng minh nếu x+y+z=1 thì x^2+y^2+x^2>=1/3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
H
1
D
0
LA
1
T
26 tháng 4 2019
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(1-x\right)^2\ge0\\\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\end{cases}\forall x\inℝ}\)
\(\Rightarrow VT=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1-x=0\\x-y=0\\y-z=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\1-y=0\Rightarrow y=1\\1-z=0\Rightarrow z=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\left(đpcm\right)\)
P/s: VT: vế trái
11 tháng 11 2019
Làm theo cách giải trình :P
Ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2=1^2\)
\(x^2+y^2+z^2+2.\left(xy+yz+xz\right)=1\)
\(1+2.\left(xy+yz+xz\right)=1\)
\(2.\left(xy+yz+xz\right)=0\Rightarrow xy+yz+xz=0\)
\(\left(x+y+z\right).\left(x^2+y^2+z^2\right)=1.1\)
\(x^3+y^3+z^3+x^2.\left(y+z\right)+y^2.\left(x+z\right)+2^2.\left(x+y\right)=1\)
\(1+x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y=1\)
\(xy.\left(x+y\right)+xz.\left(x+z\right)+yz.\left(y+z\right)=0\)
\(xy.\left(x+y+z-z\right)+xz.\left(x+y+z-y\right)+yz.\left(x+y+z-x\right)=0\)
\(xy.\left(1-z\right)+xz.\left(1-y\right)+yz.\left(1-x\right)=0\)
\(xy+xz+yz-3xyz=0\)
Khi: \(xy+yz+xz0,xyz\)cũng bằng 0
đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2021
Lời giải:
$(x-y)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$
$\Leftrightarrow 2\geq (x+y)^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{2}\geq x+y\geq -\sqrt{2}$
Ta có đpcm.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(1x+1y+1z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+y^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)