Cho ∆DEF và điểm M nằm trong tam giác. CMR: a) MD + MF < ED + EF
b) MD + ME + MF lớn hơn nửa chu vi của ∆DEF, nhưng nhỏ hơn chu vi của ∆DEF.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT tam giác cho các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}OA+OB>AB\\OB+OC>BC\\OC+OD>CD\\AO+OD>AD\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow OA+OB+OB+OC+OC+OD+OA+OD>AB+BC+CD+AD\)
\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)>\left(AB+BC+CD+DA\right)\)
\(\Rightarrow AC+BD>\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}\)
Tương tự, áp dụng BĐT tam giác cho các tam giác ABC,BCD, CDA, DAB ta có: \(AB+BC>AC;BC+CD>BD;CD+DA>AC;DA+AB>BD\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(AB+BC+CD+DA\right)>2\left(AC+BD\right)\)
\(\Leftrightarrow AC+BD< AB+BC+CD+DA\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét ΔMNP có
D là trung điểm của NP
E là trung điểm của PM
Do đó: DE là đường trung bình
=>DE//MN và DE=MN/2
=>DE//MF và DE=MF
=>MEDF là hình bình hành
Suy ra: MD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của MD và FE
b: XétΔDEF và ΔMFE có
DE=MF
EF chung
DF=ME
Do đó: ΔDEF=ΔMFE
Xét ΔMNP có
F là trung điểm của MN
E là trung điểm của MP
Do đó:FE là đường trung bình
=>FE//NP
=>ΔMFE đồng dạng với ΔMNP
\(\Leftrightarrow C_{MNP}=\dfrac{MF}{MN}\cdot C_{MFE}=2\cdot C_{DEF}=24\left(cm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi O là giao điểm 2 dường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.
Áp dụng định lý " trong một tam giác một cạnh thì bé hơn tổng 2 cạnh kia" ta có:
AB < OA + OB (1)
BC < OB + OC (2)
CD < OC + OD (3)
DA < OD + OA (4)
(1) + (2) + (3) + (4) :
AB + BC + CD + DA < 2(OA + OC + OB + OD) = 2(AC + BD)
hay (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD (*)
Mặt khác :
AC < AB + BC (1')
BD < BC + CD (2')
AC < CD + DA (3')
BD < DA + AB (4')
(1') + (2') + (3') + (4') :
2(AC + BD) > 2(AB + BC + CD + DA)
hay AC + BD < AB + BC + CD + DA (**)
Từ (*) và (**) (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD < AB + BC + CD + DA
Giả sử tứ giác ABCD có: AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.
Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:
AC+BD=AO+OB+OC+OD>AB+CD=a+c
Tương tự: AC+BD>b+d.
Suy ra: 2(AC+BD)>a+b+c+d⇒AC+BD=a+b+c+d2
Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
AC<a+b;AC<c+d
BD<b+c;BD<a+d
⇒2(AC+BD)<2(a+b+c+d).
⇒AC+BD<a+b+c+d.
Vậy tổng hai dường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét tam giác MNP có:
MF=FE; ME=EP
=> EF là đường trung bình
=> FO//ND ; OE//DP
Mà MF= FN ; ME=EP
=> FO là đường trung bình của tam giác MNO => FO là 1/2 ND
=> OE là đường trung bình của tam giác MPD=> OE=1/2 PD
Mà ND=PD => FO = Ò ( đpcm
1. Cho tứ giác ABCD, gọi M là trung điểm của AD. N là trung điểm của BC.
Chứng minh: a) 2MN bé hơn hoặc = AB+CD
b) trong trường hợp dấu = xảy ra, tứ giác ABCD là hình gì
2. Cho tam giác abc đều, M là điểm nằm trong tam giác, qua m kẻ các đường thẳng // vs ab,//vsbc,//ac cắt ab,ac,bc tại e,d,f
Chứng minh:a, các tứ giác bfmd, cdme, aemf là hình thang cân
b, trong 3 đoạn ma,mb,mc thì đọ dài một đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng độ dài 2 đoạn còn lại