cho a,b,c nguyên dương, TM: a+b+c =3
tìm Min P= \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-c\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
29 tháng 5 2020
Ta có: \(\frac{19a+3}{b^2+1}=\left(19a+3\right).\frac{1}{b^2+1}=\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b^2}{b^2+1}\right)\)
\(\ge\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(=19a+3-\frac{19ab}{2}-\frac{3b}{2}\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{19b+3}{c^2+1}\ge19b+3-\frac{19bc}{2}-\frac{3c}{2}\)(2); \(\frac{19c+3}{a^2+1}\ge19c+3-\frac{19ca}{2}-\frac{3a}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(A=\frac{19a+3}{b^2+1}+\frac{19b+3}{c^2+1}+\frac{19c+3}{a^2+1}\)\(\ge19\left(a+b+c\right)-\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{19\left(ab+bc+ca\right)}{2}+9\)
\(=\frac{35\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{19\left(ab+bc+ca\right)}{2}+9\)
\(\ge\frac{35.\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}{2}-\frac{19.3}{2}+9=\frac{105}{2}-\frac{57}{2}+9=33\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
TT
0
TA
1 tháng 7 2017
Ta có \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=3.1=3\) \(\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel
\(B=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\\ab+bc+ca=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
KN
23 tháng 1 2021
\(\text{⋄}\)Dễ có: \(B\ge\left(3+\frac{4}{a+b}\right)\left(3+\frac{4}{b+c}\right)\left(3+\frac{4}{c+a}\right)\)
\(\text{⋄}\)Đặt \(b+c=x;c+a=y;a+b=z\left(x,y,z>0\right)\)thì \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{z+x-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
Giả thiết được viết lại thành: \(x+y+z\le3\)và ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left(3+\frac{4}{x}\right)\left(3+\frac{4}{y}\right)\left(3+\frac{4}{z}\right)\)
\(\text{⋄}\)Ta có: \(\left(3+\frac{4}{x}\right)\left(3+\frac{4}{y}\right)\left(3+\frac{4}{z}\right)=27+36\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+48\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)+\frac{64}{xyz}\)\(\ge27+36.\frac{9}{x+y+z}+48.\frac{27}{\left(x+y+z\right)^2}+64.\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\ge343\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1/2
16 tháng 9 2017
\(\Leftrightarrow M=\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+â\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)
áp dụng bđt cauchy ta có:
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge\frac{1}{a}\);\(\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c+a}{4ca}\ge\frac{1}{b}\);\(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{8abc}}=\frac{3}{2}\)
7 tháng 2 2018
Áp dụng BĐT Mincopxki:
\(P\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{\left(a+b+c\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{1215}{16\left(a+b+c\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{\left(a+b+c\right)^2\cdot\dfrac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}}+\dfrac{1215}{16\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}}\)
\(=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
8 tháng 8 2019
Cách khác :)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :
\(\left(1+16\right)\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)\ge\left(a+\frac{4}{b}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{17}\cdot\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\ge a+\frac{4}{b}\)
Tương tự : \(\sqrt{17}\cdot\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}\ge b+\frac{4}{c};\sqrt{17}\cdot\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge c+\frac{4}{a}\)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức :
\(\sqrt{17}\cdot\left(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\right)\ge\left(a+b+c\right)+4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{17}\cdot P\ge a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
Xét \(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\)
\(=16a+\frac{4}{a}+16b+\frac{4}{b}+16c+\frac{4}{c}-15a-15b-15c\)
\(\ge2\sqrt{\frac{16\cdot4a}{a}}+2\sqrt{\frac{16\cdot4b}{b}}+2\sqrt{\frac{16\cdot4c}{c}}-15\left(a+b+c\right)\)
\(=16\cdot3-15\cdot\frac{3}{2}=\frac{51}{2}\)
Ta có : \(\sqrt{17}\cdot P\ge\frac{51}{2}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
22 tháng 7 2019
\(S=\left(a^2+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{3}{4}\)
\(\ge a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{3}{4}=\left(a+\frac{1}{4a}\right)+\left(b+\frac{1}{4b}\right)+\left(c+\frac{1}{4c}\right)-\frac{3}{4}\)
\(\ge1+1+1-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{2}\)
22 tháng 7 2019
à quên tách ra mà quên đoạn sau :v thêm vào tí nhé
\(S\ge\left(a+\frac{1}{4a}\right)+\left(b+\frac{1}{4b}\right)+\left(c+\frac{1}{4c}\right)+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{3}{4}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a}{4a}}+2\sqrt{\frac{b}{4b}}+2\sqrt{\frac{c}{4c}}+\frac{3}{4}.\frac{9}{a+b+c}-\frac{3}{4}\ge1+1+1+\frac{3}{4}.\frac{9}{\frac{3}{2}}-\frac{3}{4}=\frac{27}{4}\)
Nguyễn Ngọc Trâm về phần tách thì mình nghĩ nếu muốn hiểu cặn kẽ thì dùng miền giá trị đi,ko hiểu xíu mk giải cho
\(P\ge\frac{4}{a+b}-c=1+\frac{c+1}{3-c}-c=1+\frac{c^2-2a+1}{3-c}=1+\frac{\left(c-1\right)^2}{3-c}\ge1\) ; \(\forall c< 3\)
\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)