Cho a,b,c nguyên dương TM: a+b+c=abc
CMR:a/(b^3)+b/(c^3)+c/(a^3)>=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2022
Với các số dương x;y ta có:
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
Áp dụng:
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\dfrac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\dfrac{a}{ca\left(c+a\right)+abc}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{bc\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\)
TN
6 tháng 11 2017
\(BDT\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1-a\right)^2}+\frac{b^3}{\left(1-b\right)^2}+\frac{c^3}{\left(1-c\right)^2}\ge\frac{1}{4}\)
Ta có BĐT phụ: \(\frac{a^3}{\left(1-a\right)^2}\ge a-\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(3a-1\right)^2}{4\left(a-1\right)^2}\ge0\forall0< a\le\frac{1}{3}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{b^3}{\left(1-b\right)^2}\ge b-\frac{1}{4};\frac{c^3}{\left(1-c\right)^2}\ge c-\frac{1}{4}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\cdot3=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
6 tháng 11 2017
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1a}{4}\ge\frac{a^2}{b+c}\)\(,\frac{b^3}{\left(c+a\right)^2}+\frac{1b}{4}\ge\frac{b^2}{a+c},\frac{c^3}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1c}{4}\ge\frac{c^2}{a+b}\)
Cộng lại ta có
\(VT\ge\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
Dấu =tự tìm Ok
10 tháng 10 2018
Với a, b, c là các số dương.
Ta có: \(\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}=2\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{a+b+1}=\left(1-\dfrac{1}{b+c+1}\right)+\left(1-\dfrac{1}{c+a+1}\right) \)
\(=\dfrac{b+c}{b+c+1}+\dfrac{c+a}{c+a+1}\)
\(\ge2\sqrt{\dfrac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}}>0\) (Bất đẳng thức Cô-si)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b+c+1}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{\left(c+a+1\right)\left(a+b+1\right)}}>0\)
\(\dfrac{1}{c+a+1}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)}}>0\)
Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được:
\(\dfrac{1}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\) \(\ge\dfrac{8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\)
\(\Rightarrow\) \(1\ge8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{1}{4}\).
Vậy giá trị lớn nhất của tích \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) bằng \(\dfrac{1}{8}\) khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{1}{4}\).
NN
1
4 tháng 5 2020
Nguyễn Ngọc Trâm về phần tách thì mình nghĩ nếu muốn hiểu cặn kẽ thì dùng miền giá trị đi,ko hiểu xíu mk giải cho
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 5 2020
\(P\ge\frac{4}{a+b}-c=1+\frac{c+1}{3-c}-c=1+\frac{c^2-2a+1}{3-c}=1+\frac{\left(c-1\right)^2}{3-c}\ge1\) ; \(\forall c< 3\)
\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
21 tháng 9 2017
Ta có:
\(\sqrt[4]{4}VT=\sqrt[4]{4a^3}+\sqrt[4]{4b^3}+\sqrt[4]{4c^3}\)
\(=\sqrt[4]{\left(a+b+c\right)a^3}+\sqrt[4]{\left(a+b+c\right)b^3}+\sqrt[4]{\left(a+b+c\right)c^3}\)
\(>\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[4]{b^4}+\sqrt[4]{c^4}=a+b+c=4\)
\(\Rightarrow\sqrt[4]{4}VT>4\Rightarrow VT>\dfrac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}\)
KN
29 tháng 5 2020
Ta có: \(\frac{19a+3}{b^2+1}=\left(19a+3\right).\frac{1}{b^2+1}=\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b^2}{b^2+1}\right)\)
\(\ge\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(=19a+3-\frac{19ab}{2}-\frac{3b}{2}\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{19b+3}{c^2+1}\ge19b+3-\frac{19bc}{2}-\frac{3c}{2}\)(2); \(\frac{19c+3}{a^2+1}\ge19c+3-\frac{19ca}{2}-\frac{3a}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(A=\frac{19a+3}{b^2+1}+\frac{19b+3}{c^2+1}+\frac{19c+3}{a^2+1}\)\(\ge19\left(a+b+c\right)-\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{19\left(ab+bc+ca\right)}{2}+9\)
\(=\frac{35\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{19\left(ab+bc+ca\right)}{2}+9\)
\(\ge\frac{35.\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}{2}-\frac{19.3}{2}+9=\frac{105}{2}-\frac{57}{2}+9=33\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
\(a+b+c=abc\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
Ta có:
\(\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}=\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge1\)
để ý \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) nha mọi người:)