Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a4 + b4 + c4 >= abc(a + b + c)
b) a8 + b8 + c8 >= a2b2c2(ab + bc + ca)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 5 2021
a)Xét \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-\dfrac{a^2+b^2}{2}=\)\(\dfrac{a^2+2ab+b^2-2\left(a^2+b^2\right)}{4}\)\(=\dfrac{-a^2+2ab-b^2}{4}\)\(=\dfrac{-\left(a-b\right)^2}{4}\le0\forall a;b\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\) (bạn ghi sai đề?)
Dấu = xảy ra <=> a=b
b) \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
\(=a^{12}+a^{10}b^2+a^2b^{10}+b^{12}-\left(a^{12}+a^8b^4+a^4b^8+b^{12}\right)\)
\(=a^2b^2\left(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6\right)\)
\(=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)\left(a^6-b^6\right)=a^2b^2\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) với mọi a,b
=> \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
Dấu = xảy ra <=>a=b
BA
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 7 2023
Lời giải:
$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$=[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)]^2-2[(ab+bc+ac)^2-2abc(a+b+c)]$
$=[1^2-2(-1)]^2-2[(-1)^2-2(-1).1]=3$
BV
21 tháng 3 2022
a, \(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\)a^2+2ab+b^2>=4ab
\(\Leftrightarrow\)a^2-2ab+b^2>=0
\(\Leftrightarrow\)(a-b)^2>=0 (luôn đúng)
BV
21 tháng 3 2022
b,\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) luôn đúng
KN
4 tháng 10 2017
theo bài ta có:
a + b + c = 0
=> a = -(b + c)
=> a2 = [-(b + c)]2
=> a2 = b2 + 2bc + c2
=> a2 - b2 - c2 = 2bc
=> ( a2 - b2 - c2)2 = (2bc)2
=> a4 + b4 + c4 - 2a2c2 + 2b2c2 - 2a2c2 = 4b2c2
=> a4 + b4 + c4 = 2a2c2 + 2b2c2 + 2a2c2
=> 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2c2 + 2b2c2 + 2a2c2
=> 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2
=> 2(a4 + b4 + c4) = 1
=> a4 + b4 + c4 = \(\dfrac{1}{2}\)
SL
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 11 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\text{VT}=\sqrt{ab+c(a+b+c)}+\sqrt{bc+a(a+b+c)}+\sqrt{ca+b(a+b+c)}$
$=\sqrt{(c+a)(c+b)}+\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+a)(b+c)}$
$\leq \frac{c+a+c+b}{2}+\frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+a+b+c}{2}$
$=2(a+b+c)=2$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
MH
1
O
1
lại đây nào , hằng đẳng thức quen thuộc của chúng ta ơi: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)( cái này dễ chứng minh nha bạn, bạn có thể nhân hai vế với 2 hoặc tra mạng là có ngay nha). và chúng ta sẽ áp dụng công thức này vào biểu thức bên dưới
1 \(a^4+b^4+c^4=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\) \(\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge ab^2c+abc^2+a^2bc\)\(=abc\left(a+b+c\right)\)
từ đẳng thức ta có đpcm
2 \(a^8+b^8+c^8=\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2+\left(c^4\right)^2\)\(\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^2b^4c^2+a^2b^2c^4\)\(+a^4b^2c^2\)
\(=a^2b^2c^2\left(b^2+c^2+a^2\right)\)\(\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\)
từ đẳng thức ta có đpcm
trong suốt quá trình giải bài toán mình đều sử dụng công thức bên trên nhé. chúc bạn học tốt. kb và tk mk