Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a) \(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)
b) \(\dfrac{a}{a+b-c}+\dfrac{b}{b+c-a}+\dfrac{c}{c+a-b}\ge3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
A
26 tháng 1 2021
+ 
+ 
≥ 3.
Đặt b + c – a = x > 0 (1); a + c – b = y > 0 (2); a + b – c = z > 0 (3)
Cộng (1) và (2) => b + c – a + a + c – b = x + y ⇔ 2c = x + y ⇔ c = 
Tương tự a = 
; b = 
Do đó + + = 
+ 
+ 
= 
(
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
)
= [( + ) + ( + ) + ( + )] ≥ (2 + 2 + 2) = 3.
Vậy + + ≥ 3.
12 tháng 5 2022
-Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x>0\\c+a-b=y>0\\a+b-c=z>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2c=x+y\\2a=y+z\\2b=z+x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{x+y}{2}\\a=\dfrac{y+z}{2}\\b=\dfrac{z+x}{2}\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}=\dfrac{\dfrac{y+z}{2}}{x}+\dfrac{\dfrac{z+x}{2}}{y}+\dfrac{\dfrac{x+y}{2}}{z}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}\right)=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)+\left(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\right]\ge\dfrac{1}{2}.\left(2+2+2\right)=3\left(đpcm\right)\)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
20 tháng 3 2021
bạn trình bày rõ bđt 1/x + 1/y >_ 4/x+y dc ko vì mình ko hiểu lắm
1 tháng 7 2017
surf trc khi hỏi Câu hỏi của Duong Thi Nhuong TH Hoa Trach - Phong GD va DT Bo Trach - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
1 tháng 7 2017
Giải:
Ta có BĐT phụ: \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}\ge3\) (Đpcm)
DT
3
DM
8 tháng 3 2017
C1 : Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(\sum\dfrac{a}{b+c-a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}}\ge3\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
C2 : Theo Cauchy Schwarz :
\(\sum \frac{a}{b+c-a}\geq \sum \frac{a^2}{ab+ac-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+ca+bc)-a^2-b^2-c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{2}{3}(a+b+c)^2-\frac{1}{3}(a+b+c)^2}=3\)
(đpcm).
LT
8 tháng 3 2017
Đặt b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z thì 2a =y+z, 2b +x+z, 2c +x+y. Ta có:
\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\)
= \(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}\)
=\(\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\)(1)
Mà \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2=\dfrac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)( vì xy >0)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)(2)
Tương tự: \(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge2\)(3)
\(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\ge2\)(4)
Từ (1),(2),(3) và (4):
\(\Rightarrow\)\(\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\)\(\ge6\)
Hay \(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\) \(\ge6\)
Do đó: \(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)(đpcm)
5 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2\sqrt{\dfrac{y+z-x}{x}}\le\dfrac{y+z-x}{x}+1=\dfrac{y+z}{x}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{x}{y+z-x}}\ge\dfrac{2x}{y+z}\)
Áp dụng vào đề bài ta có:
\(A=\sqrt{\dfrac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b-c}}\ge\)
\(\ge\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}\ge2\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)=\dfrac{2.3}{2}=3\)(BĐT Nesbitt)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2022
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{4}{a+b-c+b+c-a}=\dfrac{2}{b}\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{2}{a}\) ; \(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{2}{c}\)
Cộng vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\right)\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
24 tháng 3 2023
cho em hỏi tại sao 1/a+b-c +1/b+c-a>=4/a+b-c+b+c-a vậy ạ
Lời giải:
Đặt \((b+c-a, c+a-b, a+b-c)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{y+z}{2}; \frac{x+z}{2}; \frac{x+y}{2})\)
Tất nhiên $x,y,z>0$ vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác.
Khi đó, áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{(y+z)(x+z)(x+y)}{8xyz}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}.2\sqrt{xy}}{8xyz}}=3\)
Ta có đpcm
b) Vẫn cách đặt giống phần a. Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{a}{a+b-c}+\frac{b}{b+c-a}+\frac{c}{c+a-b}=\frac{y+z}{2z}+\frac{x+z}{2x}+\frac{x+y}{2y}=\frac{y}{2z}+\frac{z}{2x}+\frac{x}{2y}+\frac{3}{2}\)
\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{y}{2z}.\frac{z}{2x}.\frac{x}{2y}}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\)
Ta có đpcm.