Chứng minh rằng
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 5 2021
Ta có đánh giá sau với a không âm:
\(\dfrac{a}{1+a^2}\le\dfrac{36a+3}{50}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(36a+3\right)\left(a^2+1\right)\ge50a\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\left(4a+3\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự: \(\dfrac{b}{1+b^2}\le\dfrac{36b+3}{50}\) ; \(\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{36c+3}{50}\)
Cộng vế: \(VT\le\dfrac{36\left(a+b+c\right)+9}{50}=\dfrac{9}{10}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
19 tháng 5 2021
Ta chứng minh bđt phụ \(\dfrac{a}{1+a^2}\le\dfrac{3}{10}+\dfrac{18}{25}\left(a-\dfrac{1}{3}\right)\)
Thật vậy bđt trên \(\Leftrightarrow\dfrac{-3a^2+10a-3}{10\left(1+a^2\right)}-\dfrac{18}{25}\left(a-\dfrac{1}{3}\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{3}\right)\left[\dfrac{3\left(3-a\right)}{10\left(1+a^2\right)}-\dfrac{18}{25}\right]\le0\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{36\left(a-\dfrac{1}{3}\right)^2\left(\dfrac{3}{4}+a\right)}{50\left(1+a^2\right)}\le0\) ( luôn đúng với mọi \(a\)\(\ge\)0)
Tương tự cũng có:\(\dfrac{b}{1+b^2}\le\dfrac{3}{10}+\dfrac{18}{25}\left(b-\dfrac{1}{3}\right)\); \(\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{3}{10}+\dfrac{18}{25}\left(c-\dfrac{1}{3}\right)\)
Cộng vế với vế => VT\(\le\dfrac{9}{10}+\dfrac{18}{25}\left(a+b+c-1\right)=\dfrac{9}{10}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 8 2021
\(\dfrac{a^2+bc}{b+c}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)-a\left(b+c\right)}{b+c}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}-a\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}-\left(a+b+c\right)\)
Mặt khác áp dụng \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\ge a+b+b+c+a+c=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=a+b+c\) (đpcm)
QT
20 tháng 5 2018
\(\sum\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=a+b+c-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}-\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}-\dfrac{ca^2}{c^2+a^2}\ge a+b+c-\dfrac{b}{2}-\dfrac{c}{2}-\dfrac{a}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\) Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
HN
28 tháng 7 2018
\(\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{a^3}{b^3}+1+\dfrac{b^3}{c^3}+\dfrac{b^3}{c^3}+1+\dfrac{c^3}{a^3}+\dfrac{c^3}{a^3}+1\ge3\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{c^3}+\dfrac{c^3}{a^3}\right)\ge3\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)-3\)
\(\ge2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)+3-3=2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{c^3}+\dfrac{c^3}{a^3}\ge\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\)
27 tháng 7 2018
giả sử \(a>b>c>0\) thì ta có :
\(\dfrac{a^2}{b^2}\left(\dfrac{a}{b}-1\right)+\dfrac{b^2}{c^2}\left(\dfrac{b}{c}-1\right)+\dfrac{c^2}{a^2}\left(\dfrac{c}{a}-1\right)\ge2\dfrac{a}{b}+\dfrac{c^2}{a^2}\left(\dfrac{c}{a}-1\right)\)
\(=\dfrac{2a}{b}+\dfrac{c^3}{a^3}-\dfrac{c^2}{a^2}\ge0\)
làm tương tự cho trường hợp \(c>b>a>0\) ; \(b>a>c\) và \(b>c>a\)
\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)
11 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a+c+a+b}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}=VP\)
11 tháng 12 2017
\(A=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a+b}{c}\)
\(A=\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)+\left(\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}\right)\)
\(A\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}\) (bất đẳng thức Nesbit)
\(A\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\)
\(A\ge\dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có:
\(A\ge\dfrac{3}{2}+2\sqrt{\dfrac{ab}{ab}}+2\sqrt{\dfrac{ac}{ac}}+2\sqrt{\dfrac{bc}{bc}}\)
\(A\ge\dfrac{3}{2}+2+2+2=\dfrac{15}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu"=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Lời giải:
Phải thêm điều kiện $a,b,c>0$ nữa bạn nhé
Ta có:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-a-b-c\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}-(2a-b)+\frac{b^2}{c}-(2b-c)+\frac{c^2}{a}-(2c-a)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2-2ab+b^2}{b}+\frac{b^2-2bc+c^2}{c}+\frac{c^2-2ac+a^2}{a}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a}\geq 0\)
(luôn đúng với mọi $a,b,c>0$)
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Hoặc có thể sử dụng BĐT Cauchy như sau:
\(\frac{a^2}{b}+b\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\)
\(\frac{b^2}{c}+c\ge 2\sqrt{\frac{b^2}{c}.c}=2b\)
\(\frac{c^2}{a}+a\geq 2\sqrt{\frac{c^2}{a}.a}=2c\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+(a+b+c)\geq 2(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$