Cho a,b,c là 3 số thực bất kì. Cm bất đẳng thức:
a2+b2+c2/3 ≥ (a+b+c/3)2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 4 2022
Ta có:
\(\left(a-1\right)^2\ge0;\forall a\) (1)
\(\left(b-1\right)^2\ge0;\forall b\) (2)
\(\left(c-1\right)^2\ge0;\forall c\) (3)
Cộng từng vế (1);(2);(3) ta được:
\(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2\left(a+b+c\right)+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\) ( đfcm )
PT
19 tháng 4 2022
Ta có:
(a−1)2≥0;∀a(a−1)2≥0;∀a (1)
(b−1)2≥0;∀b(b−1)2≥0;∀b (2)
(c−1)2≥0;∀c(c−1)2≥0;∀c (3)
Cộng từng vế (1);(2);(3) ta được:
(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2≥0(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2≥0
⇔a2−2a+1+b2−2b+1+c2−2c+1≥0⇔a2−2a+1+b2−2b+1+c2−2c+1≥0
⇔a2+b2+c2−2(a+b+c)+3≥0⇔a2+b2+c2−2(a+b+c)+3≥0
⇔a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)⇔a2+b2+c2+3≥2(a+b+c) ( đpcm ).
TN
26 tháng 6 2016
a)Ta có:
\(\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
Do \(\left(a-b\right)^2\ge0\),nên\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
b)Xét \(\left(a+b+c\right)^2+\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\)
Khai triển và rút gọn ta được:\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vậy \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
7 tháng 12 2018
10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)\(^2\) ≥ 0, nên (a + b)\(^2\) ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)\(^2\) + (a – b)\(^2\) + (a – c)\(^2\) + (b – c)\(^2\)
. Khai triển và rút gọn, ta được : 3(a\(^2\) + b\(^2\) + c\(^2\)).
Vậy : (a + b + c)\(^2\) ≤ 3( a\(^2\) + b\(^2\) + c\(^2\)).
7 tháng 12 2018
Cách khác : Biến đổi tương đương
a, \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)luôn đúng
b, \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\le3a^2+3b^2+3c^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
UN
3
13 tháng 6 2023
2:
a: =>a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2<=0
=>-(a^2-2ab+b^2)<=0
=>(a-b)^2>=0(luôn đúng)
b; =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3a^2-3b^2-3c^2<=0
=>-(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)<=0
=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)
DC
2
25 tháng 5 2021
a) \(\dfrac{a^2+a+1}{a^2-a+1}=\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\)
Thấy tử và mẫu của phân số đều lớn hơn 0 => \(\dfrac{a^2+a+1}{a^2-a+1}>0\)
b)\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2a+1\right)+\left(c^2-2a+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
Dấu = xra khi a=b=c=1
25 tháng 5 2021
b)
\(a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
6 tháng 1 2022
a: \(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)
hay \(\left(a-1\right)^2>=0\)(luôn đúng)
b: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)=VP\)
với x, y, z > 0.
Mn giúp em với ;-;
xét hiệu
\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\ge0\)
<=> \(\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\ge0\)
<=>\(3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
<=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)
<=> \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)
<=> (a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 ≥ 0 (luôn đúng)
=> đpcm)
mk tg chỉ luôn lớn hơn 0 chưa