Cho x,y là các số dương và xy=1, chứng minh rằng :\(\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{4}{x+y}\ge8\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu hỏi của Tuấn Anh Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3y^3z^3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}=3xyz\) (dpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có \(A=\left(x+\frac{2}{y}\right)\left(\frac{y}{x}+2\right)\)
\(=y+\frac{2}{x}+2x+\frac{4}{y}\ge2\sqrt{y.\frac{4}{y}}+2\sqrt{\frac{2}{x}.2x}=8\)
Vậy Cái Đề
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
- Áp dụng BĐT cauchuy ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}\\y+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{y}{z}}\\z+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{\frac{z}{x}}\end{matrix}\right.\)
- Nhân 3 vế trên lại ta được :
\(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{x}\right)\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}.2\sqrt{\frac{y}{z}}.2\sqrt{\frac{z}{x}}\)
Mà \(2\sqrt{\frac{x}{y}}.2\sqrt{\frac{y}{z}}.2\sqrt{\frac{z}{x}}=8\sqrt{\frac{x.y.z}{y.z.x}}=8.1=8\)
=> \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{x}\right)\ge8\) ( đpcm )