Cho a,b,c,d thuộc (0,1). Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau sai:
2a(1-b)>1 ; 3b(1-c)>2 ; 8c(1-d)>1 ; 32d(1-a)>3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LD
0
26 tháng 9 2018
Giả sử \(a\left(2-b\right)>1,b\left(2-c\right)>1,c\left(2-a\right)>1\)
\(\Rightarrow abc\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)>1\) (1)
Mặt khác, ta có:
\(a\left(2-a\right)=-a^2+2a=-\left(a-1\right)^2+1\le1\)
Tương tự, \(b\left(2-b\right)\le1,c\left(2-c\right)\le1\)
\(\Rightarrow abc\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\le1\),điều này trái với (1)
Vậy điều giả sử là sai.
Do đó ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức trên là sai.
MS
3 tháng 3 2016
giả sử các bất đẳng thức trên đều đúng, tức là ;
\(a\left(1-b\right)>\frac{1}{4},\) \(b\left(1-c\right)>\frac{1}{4},\) \(c\left(1-a\right)>\frac{1}{4}\)
Suy ra: \(a\left(1-b\right)b\left(1-c\right)c\left(1-a\right)>\frac{1}{4}.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow a\left(1-1\right)b\left(1-b\right)c\left(1-c\right)>\frac{1}{64}\)
Điều này vô lí vì: \(\begin{cases}0>a\left(1-a\right)\le\frac{1}{4}\\0>b\left(1-b\right)\le\frac{1}{4}\\0>c\left(1-c\right)\le\frac{1}{4}\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(Đpcm\right)\)
Phản chứng rằng tất cả đều đúng. Tích các bất đẳng thức lại cho ta
\(a\left(1-a\right)b\left(1-b\right)c\left(1-c\right)d\left(1-d\right)>\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{8}\times\frac{3}{32}=\frac{1}{256}.\)
Mặt khác, ta có \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\to a\left(1-a\right)\le\frac{1}{4}.\) Tương tự \(b\left(1-b\right),c\left(1-c\right),d\left(1-d\right)\le\frac{1}{4}\to\)
\(a\left(1-a\right)b\left(1-b\right)c\left(1-c\right)d\left(1-d\right)