nếu phương trình có nghiệm và đạt giá trị nhỏ nhất thì ?, biết
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: Δ=(2m-2)^2-4(2m-5)
=4m^2-8m+4-8m+20
=4m^2-16m+24
=4m^2-16m+16+8
=(2m-4)^2+8>=8>0 với mọi m
=>PT luôn có 2 nghiệm pb
2: Để pt có hai nghiệm trái dấu thì 2m-5<0
=>m<5/2
3: A=(x1+x2)^2-2x1x2
=(2m-2)^2-2(2m-5)
=4m^2-8m+4-4m+10
=4m^2-12m+14
=4(m^2-3m+7/2)
=4(m^2-2m*3/2+9/4+5/4)
=4(m-3/2)^2+5>=5
Dấu = xảy ra khi m=3/2
`1)` Ptr có: `\Delta'=[-(m-1)]^2-2m+5`
`=m^2-4m+4+2=(m-2)^2+2 > 0 AA m`
`=>` Ptr có `2` nghiệm phân biệt `AA m`
`2)` Ptr có `2` nghiệm trái dấu `<=>ac < 0`
`<=>2m-5 < 0<=>m < 5/2`
`3) AA m` ptr có `2` nghiệm phân biệt
`=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=-b/a=2m-2),(x_1.x_2=c/a=2m-5):}`
Ta có: `A=x_1 ^2+x_2 ^2`
`<=>A=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2`
`<=>A=(2m-2)^2-2(2m-5)`
`<=>A=4m^2-8m+4-4m+10`
`<=>A=4m^2-12m+14`
`<=>A=(2m-3)^2+5 >= 5 AA m`
`=>A_[mi n]=5`
Dấu "`=`" xảy ra `<=>2m-3=0<=>m=3/2`
Giải:
Chia phương trình cho \(x^2\) ta có:
\(x^2+\frac{1}{x^2}+ax+\frac{b}{x}+2=0\left(1\right)\)
\(\left(1\right)-\left(ax+\frac{b}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}+2\Leftrightarrow\left(ax+\frac{b}{x}\right)^2=\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)^2\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
\(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
Vậy \(\left(ax+\frac{b}{x}\right)^2\le\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(a^2+b^2\right)\) nên \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)^2\)
Đặt \(x^2+\frac{1}{x^2}=t\left(t\ge2\right)\) nên \(a^2+b^2\ge\frac{\left(t+2\right)^2}{t}=t+\frac{4}{t}+4\ge2\sqrt{t.\frac{4}{t}}+4=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^2+\frac{1}{x^2}=2\Leftrightarrow x=1\) và \(a=b\) sẽ tìm ra a
Đáp án A
y − 1 x 2 + 2 y − 1 x + 2 y − 1 = 0 1
Nếu y = 1 thì x = 1
Nếu y ≠ 1 thì để (1) có nghiệm thì
Δ = 2 y − 1 2 + 4 y − 1 2 y − 1 ≥ 0 ⇔ 2 y − 1 3 − 2 y ≥ 0 ⇔ 1 2 ≤ y ≤ 3 2
⇒ min y = 1 2 ; max y = 3 2 ⇒ min y + max y = 2
a)Ta có: \(\Delta\)= m2 - 4(m - 1) = m2 - 4m + 4 = (m - 2)2 \(\geq\)0 với mọi m
Vậy: PT có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
b)Theo Vi-et: x1 + x2 = m và x1x2 = m - 1
Do đó: A = x12 + x22 - 6x1x2 = (x1 + x2)2 - 8x1x2 = m2 - 8(m - 1) = m2 - 8m + 8 = ( m2 - 8m + 16) - 8 = (m - 4)2 - 8 \(\geq\)- 8 với mọi m
đúng nhé
Vậy: GTNN của A là -8 <=> m = 4
Dễ thấy x=0 không là nghiệm của phương trình.
Xét x khác 0, chia cả 2 vế của phương trình cho \(x^2\ne0\) ta có:
\(x^2+\text{ax}+b+\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\)
<=> \(\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+a\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+b=0\)
<=>\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2+a\left(a+\dfrac{1}{x}\right)+b=0\)(*)
Đặt \(y=x+\dfrac{1}{x}\)
Ta có: \(y^2-4=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-4=x^2+2.x.\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-4.x.\dfrac{1}{x}\)
=\(x^2-2.x.\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2\ge0\) với mọi x khác 0
=>\(y^2\ge4\)
=>\(\left|y\right|\ge2\)
(*) trở thành: y2-2+ay+b=0
<=>\(2-y^2=ay+b\)
=>\(\left|2-y^2\right|=\left|ay+b\right|\)(1)
Ta có: \(0\le\left(a-by\right)^2\) (với mọi \(a\ne0\) , b, \(\left|y\right|\ge2\))
<=>\(0\le a^2-2aby+b^2y^2\)
<=>\(a^2y^2+2aby+b^2\le a^2y^2+a^2+b^2y^2+b^2\)
<=>\(\left(ay+b\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(y^2+1\right)\)
<=>\(\left|ay+b\right|\le\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{y^2+1}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\left|2-y^2\right|\le\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{y^2+1}\)
<=>\(\left(2-y^2\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(y^2+1\right)\)
<=>\(\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{\left(2-y^2\right)^2}{y^2+1}\)(3) (vì y2+1>0 với mọi \(\left|y\right|\ge2\))
Vì \(y^2\ge4\)
=> \(y^2-\dfrac{12}{5}\ge4-\dfrac{12}{5}=\dfrac{8}{5}\) > 0
=> \(\left(y^2-\dfrac{12}{5}\right)^2\ge\left(\dfrac{8}{5}\right)^2\)
<=>\(y^4-\dfrac{24}{5}y^2+\dfrac{144}{25}\ge\dfrac{64}{25}\)
<=>\(y^4-\dfrac{24}{5}y^2+\dfrac{16}{5}\ge0\)
<=>\(5y^4-24y^2+16\ge0\)
<=>\(20-20y^2+5y^4\ge4y^2+4\)
<=>\(5\left(4-4y^2+y^4\right)\ge4\left(y^2+1\right)\)
<=>\(5\left(2-y^2\right)^2\ge4\left(y^2+1\right)\)
<=>\(\dfrac{\left(2-y^2\right)^2}{y^2+1}\ge\dfrac{4}{5}\) (4) (vì y2+1>0 với mọi \(\left|y\right|\ge2\))
Từ (3) và (4)=> \(a^2+b^2\ge\dfrac{4}{5}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của a2+b2 là \(\dfrac{4}{5}\) khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|y\right|=2\\a=by\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=-2\end{matrix}\right.\\a=by\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=2\\a=2b\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-2\\a=-2b\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=1\\a=-\dfrac{4}{5}\\b=\dfrac{-2}{5}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\a=\dfrac{4}{5}\\b=\dfrac{-2}{5}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)(I)
Vì a > 0 nên trường hợp thứ nhất loại.
Do đó:\(\left(I\right)\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\a=\dfrac{4}{5}\\b=\dfrac{-2}{5}\end{matrix}\right.\)
Khi đó giá trị của a cần tìm là \(\dfrac{4}{5}.\)
0,8