Question

[Lightning Farron]

cho 3 số thực dương a,b,c.CMR

\(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge9\left(ab+bc+ca\right)\)

Answer 1

[Phương Khánh]

Ta có :

${\backslash (9\backslash left(ab+bc+ac\backslash right)=3\backslash left(3ab+3bc+3ac\backslash right)<\; 3\backslash left(a+b+c\backslash right)^2\backslash )}^{}$

sử dụng bunhiacôpski

Ta cần chứng minh

\(\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right)\)

nhân ra rồi rút gọn sẽ có kết quả là : 

\(\frac{b^2+c^2}{2}+b^2c^2-3bc+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b^2+c^2}{2}+\left(bc-1\right)^2-bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b^2+c^2}{2}\ge bc\)

Answer 2

[không nói hahahahahha]

Ta cần chứng minh : a1+a2+...+ann≥a1.a2...an−−−−−−−−−√na1+a2+...+ann≥a1.a2...ann với n∈N*n∈N*

Hiển nhiên bđt đúng với n = 2 , tức là a1+a22≥a1a2−−−−√a1+a22≥a1a2 (1)

Giả sử bđt đúng với n = k , tức là a1+a2+...+akk≥a1.a2...ak−−−−−−−−−√ka1+a2+...+akk≥a1.a2...akk với k>2k>2

Ta sẽ chứng minh bđt cũng đúng với mọi n = k + 1 

Không mất tính tổng quát, đặt a1≤a2≤...≤ak≤ak+1a1≤a2≤...≤ak≤ak+1

thì : ak+1≥a1+a2+...+akkak+1≥a1+a2+...+akk . Lại đặt a1+a2+...+akk=x,x≥0a1+a2+...+akk=x,x≥0

⇒ak+1=x+y,y≥0⇒ak+1=x+y,y≥0 và xk=a1.a2...akxk=a1.a2...ak (suy ra từ giả thiết quy nạp)

Ta có : (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1

                                            ≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1

Suy ra (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1−−−−−−−−−−√k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1k+1

Vậy bđt luôn đúng với mọi n > 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.