Cho 2 số dương a,b có a + b = 1
2/ab + 3/(a^2 + b^2) >= 14
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NH
Nguyễn Huy Tú
14 tháng 7 2021
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 5 2019
Lời giải:
Đặt:
\(A=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{2}{1-2(ab+bc+ac)}\)
Đặt \(ab+bc+ac=t\Rightarrow A=\frac{3}{t}+\frac{2}{1-2t}\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\(1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow t=ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}\)
Xét:
\(A-14=\frac{3}{t}+\frac{2}{1-2t}=\frac{3}{t}-9+\frac{2}{1-2t}-5\)
\(=\frac{3-9t}{t}+\frac{10t-3}{1-2t}>\frac{3-9t}{t}+\frac{9t-3}{1-2t}=3(1-3t)(\frac{1}{t}-\frac{1}{1-2t})=\frac{3(1-3t)^2}{t(1-2t)}>0\) với mọi \(t>0; t\leq \frac{1}{3}\)
Do đó: \(A>14\) (đpcm).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2021
\(VT=3\left(\dfrac{1}{4ab}+\dfrac{1}{a^2+4b^2}\right)+\dfrac{1}{2.a.2b}\ge\dfrac{12}{a^2+4ab+4b^2}+\dfrac{2}{\left(a+2b\right)^2}=14\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)\)
BH
27 tháng 2 2016
1. CMR với mọi số nguyên dương ta có:
A= x5/120 + x4/12 + 7x3/24 + 5x2/12 + x/5 luôn luôn dương
2. Cho a3 + 3ab2 =14 và b3 + 3a2b =13 . Tính: P= a2 _ b2
HV
27 tháng 2 2016
bui hai nam: s cóp lại y nguyên đề trong phần trả lời z bn =='
CT
2
TN
10 tháng 8 2017
ko sai nhé
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng ENgel ta có:
\(VT=\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{\sqrt{6}^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{\sqrt{2}^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\approx15>14\)
T
18 tháng 2 2020
Ta có: \(12=a+b+2ab\ge2ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow0< ab\le4\)
Chú ý: \(2ab=12-a-b\) . Do đó:
\(A=\frac{2a^2+2ab}{2a+4b}+\frac{2b^2+2ab}{4a+2b}\)
\(=\frac{2\left(a^2+4\right)+4-a-b}{2a+4b}+\frac{2\left(b^2+4\right)+4-a-b}{4a+2b}\)
\(\ge\frac{7a-b+4}{2a+4b}+\frac{7b-a+4}{4a+2b}=\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}+\frac{8}{3}\ge\frac{8}{3}\)
P/s: Em chưa check lại đâu, anh tự check đi:D Và chú ý cái dấu "=" cuối cùng của em chỉ đúng khi a + b +2ab = 12.
T
18 tháng 2 2020
Cách khác:
Dễ thấy \(0< ab\le4\) (như bài trên)
\(A-\frac{8}{3}=\frac{2\left(a-2\right)^2}{2a+4b}+\frac{2\left(b-2\right)^2}{4a+2b}+\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}\ge0\)
P/s: Nếu bài trên đúng thì bài này đúng, bài trên sai thì bài này sai, vì bài này được suy ra từ bài trên:v
YN
8 tháng 2 2023
Theo đề ra, ta có:
\(a^2+b^2+c^2\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
Theo BĐT Cô-si:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Do vậy \(M\ge14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)
Luôn có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
Vì thế nên \(k\ge\dfrac{1}{3}\)
Khi đấy:
\(M\ge14k+\dfrac{3\left(1-k\right)}{2k}=\dfrac{k}{2}+\dfrac{27k}{2}+\dfrac{3}{2k}-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{27k}{2}.\dfrac{3}{2k}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{3}\)
\(\Rightarrow Min_M=\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\).