tìm GTNN của biểu thức M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2013
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
2
8 tháng 1 2017
\(\left(a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{9}{4}+ab-3a-\frac{3}{2}b\right)+\frac{3}{4}\left(b^2-2b+1\right)-\frac{9}{4}-\frac{3}{4}+2013\\ \)
\(\left(a+\frac{b-3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2+2013-3\)
GTNN=2010
Khi b=1 và a= 1
A
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 11 2018
Lời giải:
Ta có:
\(4M=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+8052\)
\(=(4a^2+4ab+b^2)+3b^2-12a-12b+8052\)
\(=(2a+b)^2-6(2a+b)+9+3b^2-6b+8043\)
\(=[(2a+b)^2-6(2a+b)+9]+3(b^2-2b+1)+8040\)
\(=(2a+b-3)^2+3(b-1)^2+8040\)
\(\geq 0+3.0+8040=8040\)
\(\Rightarrow M\geq \frac{8040}{4}=2010\)
Vậy \(M_{\min}=2010\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2a+b-3=0\\ b-1=0\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=1\end{matrix}\right.\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 8 2017
Lời giải:
a)
Ta có \(x(x+1)+5=x^2+x+5=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\)
Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\geq 0\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow x(x+1)+5\geq 0+\frac{19}{4}=\frac{19}{4}\)
Do đó \((x^2+x+5)_{\min}=\frac{19}{4}\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)
b)
\(M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2013\)
\(\Rightarrow 2M=2a^2+2ab+2b^2-6a-6b+4026\)
\(\Leftrightarrow 2M=(a+b-2)^2+(a-1)^2+(b-1)^2+4020\)
Thấy \(\left\{\begin{matrix} (a+b-2)^2\geq 0\\ (a-1)^2\geq 0\\ (b-1)^2\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow 2M\geq 4020\Rightarrow M\geq 2010\)
Vậy \(M_{\min}=2010\Leftrightarrow a=b=1\)
NC
0
TN
23 tháng 8 2016
\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)
Ta tách VT=A+B và xét
\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}=\text{∑}\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\text{∑}\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)
\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\text{∑}\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\text{∑}\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\text{∑}ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)
(Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))
Dấu = khi a=b=c=1
KN
28 tháng 5 2020
Ta có: \(\frac{1+3a}{1+b^2}=\left(1+3a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
\(\ge\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(=3a+1-\frac{b}{2}-\frac{3ab}{2}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1+3b}{1+c^2}=3b+1-\frac{c}{2}-\frac{3bc}{2}\)(2); \(\frac{1+3c}{1+a^2}=3c+1-\frac{a}{2}-\frac{3ca}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\)\(\ge3\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}+3\)
\(=\frac{5\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}+3\)
\(\ge\frac{5.\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}{2}-\frac{3.3}{2}+3=\frac{15}{2}-\frac{9}{2}+3=6\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
GG
3
NC
25 tháng 8 2020
Bài làm:
Ta có: \(P=\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+3a+3b-2\)
\(P=\left(\frac{4}{a}+a\right)+\left(\frac{4}{b}+b\right)+2\left(a+b\right)-2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
\(P\ge2\sqrt{\frac{4}{a}.a}+2\sqrt{\frac{4}{b}.b}+2.4-2\)
\(=4+4+8-2=14\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=2\)
Vậy Min(P) = 14 khi a=b=2
23 tháng 8 2016
\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)
Ta tách VT = A + b và xét :
\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}=\Sigma\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\Sigma\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\Sigma\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\Sigma\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\Sigma ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)=3}\))
Dấu = khi a = b = c = 1 .
Ta có 4M = 4a2 + 4ab + 4b2 - 12a - 12b + 8052
= (4a2 + 4ab + b2) - 6(2a + b) + 9 + 3b2 - 6b + 3 + 8040
= (2a + b)2 - 6(a + b) + 9 + 3(b2 - 2b + 1) + 8040
= (2a + b - 3)2 + 3(b - 1)2 + 8040 \(\ge\)8040
=> Min 4M = 8040
=> Min M = 2010
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2a+b-3=0\\b-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=1\)
Vạy Min M = 2010 <=> a = b = 1